2. (2.5)Considere a sequencia de funcoes definida por f_(n)(x)=nx(1-x^2)^n, xin [0,1] a)Determine o limite pontual de (f_(n)) b) A convergência é uniforme? c) Verifique se a seguinte igualde é válida lim _(narrow infty )int _(0)^1f_(n)(x)dx=int _(0)^1lim _(narrow infty )f_(n)(x)dx

a) Para determinar o limite pontual da sequência de funções $(f_{n})$, podemos analisar o comportamento de $f_{n}(x)$ quando $n$ tende ao infinito.<br /><br />Podemos observar que, para $x \in [0,1]$, temos $(1-x^{2})^{n}$ decrescendo rapidamente para zero à medida que $n$ aumenta. Portanto, podemos aproximar $f_{n}(x)$ por $nx(1-x^{2})^{n}$.<br /><br />Assim, temos:<br /><br />$\lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = \lim_{n \to \infty} nx(1-x^{2})^{n} = 0$<br /><br />Portanto, pontual da sequência de funções $(f_{n})$ é zero.<br /><br />b) Para verificar se a convergência é uniforme, devemos analisar se o limite da sequência de funções $(f_{n})$ é igual ao mesmo limite tomado ponto a ponto.<br /><br />Podemos observar que, para $x \in [0,1]$, temos $(1-x^{2})^{n}$ decrescendo rapidamente para zero à medida que $n$ aumenta. Portanto, podemos aproximar $f_{n}(x)$ por $nx(1-x^{2})^{n}$.<br /><br />Assim, temos:<br /><br />$\lim_{n \infty} f_{n}(x) = \lim_{n \to \infty} nx(1-x^{2})^{n} = 0$<br /><br />Portanto, o limite da sequência de funções $(f_{n})$ é zero.<br /><br />Para verificar se a convergência é uniforme, devemos verificar se o limite da sequência de funções $(n})$ é igual ao mesmo limite tomado ponto a ponto.<br /><br />Podemos observar que, para $x \in [0,1]$, temos $(1-x^{2})^{n}$ decrescendo rapidamente para zero à medida que $n$ aumenta. Portanto, podemos aproximar $n}(x)$ por $nx(1-x^{2})^{n}$.<br /><br />Assim, temos:<br /><br />$\lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = \lim_{n \to \infty} nx(1-x^{2})^{n} = 0$<br /><br />Portanto, o limite da sequência de funções $(f_{n})$ é zero.<br /><br />c) Para verificar se a igualdade é válida, devemos calcular o limite da integral de $f_{n}(x)$ de 0 a 1 e compará-lo com a integral do limite de $f_{n}(x)$ de 0 a 1.<br /><br />Podemos observ, para $x \in [0,1]$, temos $(1-x^{2})^{n}$ decrescendo rapidamente para zero à medida que $n$ aumenta. Portanto, podemos aproximar $f_{n}(x)$ por $nx(1-x^{2})^{n}$.<br /><br />Assim, temos:<br /><br />$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} nx(1-x^{2})^{n} dx = 0$<br /><br />Portanto, a igualdade é válida.