A área do triângulo com vértices P(1,4,6),Q(-2,5,-1) e R(1,-1,1) é.

Para calcular a área do triângulo com vértices P, Q e R, podemos usar a fórmula da área de um triângulo dado seus vértices. Primeiro, precisamos calcular os vetores PQ e PR:<br /><br />PQ = Q - P = (-2, 5, -1) - (1, 4, 6) = (-3, 1, -7)<br />PR = R - P = (1, -1, 1) - (1, 4, 6) = (0, -5, -5)<br /><br />Em seguida, calculamos o produto vetorial PQ x PR:<br /><br />PQ x PR = (-3, 1, -7) x (0, -5, -5) = (35, 15, 0)<br /><br />A área do triângulo é metade do produto do módulo do vetor resultante pelo produto das distâncias entre os pontos:<br /><br />área = 1/2 * ||PQ x PR|| * ||PQ||<br /><br />Calculando as normas:<br /><br />||PQ x PR|| = sqrt(35^2 + 15^2 + 0^2) = sqrt(1225 + 225) = sqrt(1450)<br />||PQ|| = sqrt((-3)^2 + 1^2 + (-7)^2) = sqrt(9 + 1 + 49) = sqrt(59)<br /><br />área = 1/2 * sqrt(1450) * sqrt(59)<br /><br />Portanto, a área do triângulo é:<br /><br />área = 1/2 * sqrt(1450 * 59) = 1/2 * sqrt(85550) ≈ 291.54 unidades de área.