8) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,-2) e forma com os eixos coordenados um triãngulo de área 4 u.a.

Para determinar a equação da reta que passa pelo ponto \( P(-1, -2) \) e forma com os eixos um triângulo de área 4 unidades, precisamos encontrar a equação da reta que atende a essa condição.<br /><br />Vamos considerar duas possibilidades: a reta pode ser vertical ou horizontal.<br /><br />### Caso 1: Reta Vertical<br /><br />Se a reta for vertical, sua equação será \( x = a \). Para que forme um triângulo com os eixos, a reta deve interceptar o eixo \( y \) em algum ponto \( (0, b) \).<br /><br />A área do triângulo formado será:<br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \]<br /><br />Para que a área seja 4 unidades, temos:<br />\[ 4 = \frac{1}{2} \times |a| \times |b| \]<br />\[ 8 = |a| \times |b| \]<br /><br />### Caso 2: Reta Horizontal<br /><br />Se a reta for horizontal, sua equação será \( y = b \). Para que forme um triângulo com os eixos, a reta deve interceptar o eixo \( x \) em algum ponto \( (c, 0) \).<br /><br />A área do triângulo formado será:<br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \]<br /><br />Para que a área seja 4 unidades, temos:<br />\[ 4 = \frac{1}{2} \times |c| \times |b| \]<br />\[ 8 = |c| \times |b| \]<br /><br />### Resolvendo para Ambos os Casos<br /><br />Para ambas as situações, precisamos encontrar \( a \) e \( b \) ou \( c \) e \( b \) que satisfaçam as condições de área.<br /><br />#### Exemplo 1: Reta Vertical<br /><br />Se \( a = 2 \) e \( b = 2 \):<br />\[ 8 = 2 \times 2 \]<br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \]<br /><br />Se \( a = -2 \) e \( b = -2 \):<br />\[ 8 = -2 \times -2 \]<br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times -2 \times -2 = 2 \]<br /><br />#### Exemplo 2: Reta Horizontal<br /><br />Se \( c = 2 \) e \( b = 2 \):<br />\[ 8 = 2 \times 2 \]<br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \]<br /><br />Se \( c = -2 \) e \( b = -2 \):<br />\[ 8 = -2 \times -2 \]<br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times -2 \times -2 = 2 \]<br /><br />### Conclusão<br /><br />Para que a área seja exatamente 4 unidades, precisamos ajustar os valores de \( a \), \( b \) e \( c \) para que a equação seja:<br />\[ x = a \quad \text{ou} \quad y = b \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br />\[ x = 2 \quad \text{ou} \quad y = 2 \]<br /><br />Isso forma um triângulo com os eixos e área 4 unidades.