35 A base de uma pirâmide de 8 m de altura é um hexágono regular cujo apótema mede 2sqrt (3)m. Determine o volume dessa pirâmide. 36 Determine o volume da pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 6sqrt (2)cm e a aresta lateral mede 10 cm. 57 Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal re- gular, sendo 24 am o perimetro da base e 30 cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais.

35. Para determinar o volume da pirâmide, podemos usar a fórmula:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \times \text{área da base} \times \text{altura} \]<br /><br />A base da pirâmide é um hexágono regular, e o apótema mede \(2\sqrt{3}\) m. Podemos usar a fórmula da área de um hexágono regular:<br /><br />\[ \text{área da base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \text{apótema}^2 \]<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />\[ \text{área da base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 12 = 18\sqrt{3} \]<br /><br />Agora, podemos calcular o volume da pirâmide:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \times 18\sqrt{3} \times 8 = 48\sqrt{3} \, \text{m}^3 \]<br /><br />Portanto, o volume da pirâmide é \(48\sqrt{3} \, \text{m}^3\).<br /><br />36. Para determinar o volume da pirâmide quadrangular regular, podemos usar a fórmula:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \times \text{área da base} \times \text{altura} \]<br /><br />A base da pirâmide é um quadrado, e a aresta mede \(6\sqrt{2}\) cm. Podemos calcular a área da base:<br /><br />\[ \text{área da base} = (\text{aresta})^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72 \, \text{cm}^2 \]<br /><br />A altura da pirâmide é a aresta lateral, que mede 10 cm. Agora, podemos calcular o volume da pirâmide:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \times 72 \times 10 = 240 \, \text{cm}^3 \]<br /><br />Portanto, o volume da pirâmide quadrangular regular é \(240 \, \text{cm}^3\).<br /><br />57. Para calcular o volume da pirâmide hexagonal regular, podemos usar a fórmula:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \times \text{área da base} \times \text{altura} \]<br /><br />A base da pirâmide é um hexágono regular, e o perímetro da base é 24 cm. Podemos calcular a apótema do hexágono usando a fórmula:<br /><br />\[ \text{apótema} = \frac{\text{perímetro}}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \]<br /><br />A altura da pirâmide é a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais, que é 30 cm. Agora, podemos calcular a área da base:<br /><br />\[ \text{área da base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \text{apótema}^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (4\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 48 = 72\sqrt{3} \]<br /><br />Agora, podemos calcular o volume da pirâmide:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \times 72\sqrt{3} \times 30 = 720\sqrt{3} \, \text{cm}^3 \]<br /><br />Portanto, o volume da pirâmide hexagonal regular é \(720\sqrt{3} \, \text{cm}^3\).