As integrais de linha têm papel importante seja do ponto de vista teórico ou prático, já que dentre suas aplicações utilizamos nos conceitos de trabalho, energia potencial, fluxo de calor e muitas outras situações em que o comportamento de um campo vetorial ou de um campo escalar é estudado ao longo de uma curva. Desta forma, calcule o trabalho para deslocar uma particula no campo de força, onde: overrightarrow (F)=xyoverrightarrow (i)+(3y^2)overrightarrow (j) x=11t^4 y=t^3 0leqslant tleqslant 1 FORMULÁRIO Integral de linhra em relação ao campo vetorial W=int _(C)overrightarrow (F)doverrightarrow (y)^2=W=int _(a)^boverrightarrow (F)(overrightarrow (r)(t))cdot overrightarrow (r'(t))dt

Para calcular o trabalho de deslocar uma partícula no campo de força dado, podemos usar a fórmula da integral de linha em relação ao campo vetorial:<br /><br />$W=\int _{C}\overrightarrow {F}d\overrightarrow {y}^{2}=W=\int _{a}^{b}\overrightarrow {F}(\overrightarrow {r}(t))\cdot \overrightarrow {r'(t)}dt$<br /><br />Dado que $\overrightarrow {F}=xy\overrightarrow {i}+(3y^{2})\overrightarrow {j}$, $x=11t^{4}$ e $y=t^{3}$, podemos substituir essas expressões na fórmula da integral de linha:<br /><br />$W=\int _{0}^{1}\overrightarrow {F}(\overrightarrow {r}(t))\cdot \overrightarrow {r'(t)}dt=\int _{0}^{1}(11t^{4}\cdot t^{3}\overrightarrow {i}+(3t^{3})^{2}\overrightarrow {j})\cdot (44t^{3}\overrightarrow {i}+9t^{2}\overrightarrow {j})dt$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$W=\int _{0}^{1}(11t^{7}\overrightarrow {i}+9t^{6}\overrightarrow {j})\cdot (44t^{3}\overrightarrow {i}+9t^{2}\overrightarrow {j})dt=\int _{0}^{1}(484t^{10}+81t^{8})dt$<br /><br />Agora, podemos calcular a integral:<br /><br />$W=\int _{0}^{1}(484t^{10}+81t^{8})dt=\left[\frac{484}{11}t^{11}+\frac{81}{9}t^{9}\right]_{0}^{1}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{11}+\frac{81}{9}=\frac{484}{