Nzandie o métrede de integraçäo por partes, ealeule as integrais: [ int ln (x^2+1) d x ]

Para resolver a integral \(\int \ln \left(x^{2}+1\right) dx\) usando integração por partes, primeiro precisamos identificar as partes que serão derivadas e integradas. Vamos usar \(u = \ln(x^2 + 1)\) e \(dv = dx\). Então, derivamos e integramos:<br /><br />\[du = \frac{2x}{x^2 + 1} dx\]<br />\[v = x\]<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), temos:<br /><br />\[<br />\int \ln \left(x^{2}+1\right) dx = x \ln(x^2 + 1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} dx<br />\]<br /><br />Simplificando a segunda integral:<br /><br />\[<br />\int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} dx = 2 \int \frac{x^2}{x^2 + 1} dx<br />\]<br /><br />Podemos fazer uma substituição simples: \(u = x^2 + 1\), então \(du = 2x \, dx\). A integral se torna:<br /><br />\[<br />2 \int \frac{u = 2 \int \left(1 - \frac{1}{u}\right) du = 2 \left(u - \ln|u|\right)<br />\]<br /><br />Substituindo \(u = x^2 + 1\), temos:<br /><br />\[<br />2 \left((x^2 + 1) - \ln|x^2 + 1|\right)<br />\]<br /><br />Portanto, a integral original é:<br /><br />\[<br />\int \ln \left(x^{2}+1\right) dx = x \ln(x^2 + 1) - 2 \left((x^2 + 1) - \ln|x^2 + 1|\right) + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração.