1. lalcule int x d x+y d y , sendo y dada por x=t^2 e y=operatorname(sen) t 0 leqslant t leqslant (pi)/(2)

Para calcular a integral \( \int x \, dx + y \, dy \), onde \( y \) é dada por \( x = t^2 \) e \( y = \sin t \) para \( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \), podemos usar a substituição de variáveis.<br /><br />Primeiro, vamos expressar \( x \) e \( y \) em termos de \( t \):<br />\[ x = t^2 \]<br />\[ y = \sin t \]<br /><br />A integral se torna:<br />\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (t^2) \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin t) \, dt \]<br /><br />Vamos calcular cada integral separadamente.<br /><br />1. Para a primeira integral:<br />\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t^2 \, dt \]<br /><br />Usando a fórmula da integral de potência, temos:<br />\[ \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C \]<br /><br />Aplicando os limites de integração de 0 a \( \frac{\pi}{2} \):<br />\[ \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\left( \frac{\pi}{2} \right)^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{\pi^3}{24} \]<br /><br />2. Para a segunda integral:<br />\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \, dt \]<br /><br />Usando a fórmula da integral de seno, temos:<br />\[ \int \sin t \, dt = -\cos t + C \]<br /><br />Aplicando os limites de integração de 0 a \( \frac{\pi}{2} \):<br />\[ \left[ -\cos t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - (-\cos 0) = -0 - (-1) = 1 \]<br /><br />Agora, somamos os resultados das duas integrais:<br />\[ \frac{\pi^3}{24} + 1 \]<br /><br />Portanto, o valor da integral é:<br />\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \, dx + y \, dy = \frac{\pi^3}{24} + 1 \]