Assim como toda matéria existente no planeta, os átomos de um elemento quimico radioativo possuem a tendencia de se desintegrar Com o passar do tempo, a massa desse átomo diminul e, se a massa inicial é M_(0) suponha que ela se decomponha segundo a fórmula M_(0)cdot 10^-(1)/(pi ) onde M(t) representa a massa desse átomo após decorridos t anos. Quantos anos serào necessários para que a massa do elemento se reduza até um oltavo da massa Inicial? (Use que log2=0.3.

Para determinar quantos anos serão necessários para que a massa do elemento se reduza até um oitavo da massa inicial, podemos usar a fórmula dada: $M(t) = M_0 \cdot 10^{-\frac{1}{\pi}}$.<br /><br />Queremos encontrar o valor de t para o qual a massa do elemento será igual a um oitavo da massa inicial, ou seja, $\frac{M_0}{8}$.<br /><br />Substituindo na fórmula, temos:<br /><br />$\frac{M_0}{8} = M_0 \cdot 10^{-\frac{1}{\pi}}$<br /><br />Dividindo ambos os lados por $M_0$, temos:<br /><br />$\frac{1}{8} = 10^{-\frac{1}{\pi}}$<br /><br />Agora, podemos aplicar logaritmos para resolver a equação. Aplicando logaritmo de base 10 em ambos os lados, temos:<br /><br />$\log(\frac{1}{8}) = \log(10^{-\frac{1}{\pi}})$<br /><br />Usando a propriedade de logaritmos que diz que $\log(a^b) = b \cdot \log(a)$, temos:<br /><br />$\log(\frac{1}{8}) = -\frac{1}{\pi} \cdot \log(10)$<br /><br />Sabemos que $\log(10) = 1$, então a equação fica:<br /><br />$\log(\frac{1}{8}) = -\frac{1}{\pi}$<br /><br />Agora, podemos usar a propriedade de logaritmos que diz que $\log(\frac{1}{a}) = -\log(a)$, então:<br /><br />$\log(\frac{1}{8}) = -\log(8)$<br /><br />Substituindo na equação, temos:<br /><br />$-\log(8) = -\frac{1}{\pi}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por -1, temos:<br /><br />$\log(8) = \frac{1}{\pi}$<br /><br />Agora, podemos usar a propriedade de logaritmos que diz que $\log(a^b) = b \cdot \log(a)$, então:<br /><br />$\log(2^3) = \frac{1}{\pi}$<br /><br />Aplicando a propriedade de logaritmos novamente, temos:<br /><br />$3 \cdot \log(2) = \frac{1}{\pi}$<br /><br />Sabemos que $\log(2) = 0.3$, então a equação fica:<br /><br />$3 \cdot 0.3 = \frac{1}{\pi}$<br /><br />$0.9 = \frac{1}{\pi}$<br /><br />Portanto, $\pi = \frac{1}{0.9}$<br /><br />Agora, podemos substituir esse valor de $\pi$ na fórmula original:<br /><br />$M(t) = M_0 \cdot 10^{-\frac{1}{\pi}}$<br /><br />$M(t) = M_0 \cdot 10^{-\frac{1}{\frac{1}{0.9}}}$<br /><br />$M(t) = M_0 \cdot 10^{-0.9}$<br /><br />Agora, podemos calcular o valor de t usando a fórmula $M(t) = \frac{M_0}{8}$:<br /><br />$\frac{M_0}{8} = M_0 \cdot 10^{-0.9}$<br /><br />Dividindo ambos os lados por $M_0$, temos:<br /><br />$\frac{1}{8} = 10^{-0.9}$<br /><br />Agora, podemos aplicar logaritmos para resolver a equação. Aplicando logaritmo de base 10 em ambos os lados, temos:<br /><br />$\log(\frac{1}{8}) = \log(10^{-0.9})$<br /><br />Usando a propriedade de logaritmos que diz que $\log(a^b) = b \cdot \log(a)$, temos:<br /><br />$\log(\frac{1}{8}) = -0.9 \cdot \log(10)$<br /><br />Sabemos que $\log(10) = 1$, então a equação fica:<br /><br />$\log(\frac{1}{8}) = -0.9$<br /><br />Agora, podemos usar a propriedade de logaritmos que diz que $\log(\frac{1}{a}) = -\log(a)$, então:<br /><br />$\log(\frac{1}{8}) = -\log(8)$<br /><br />Substituindo na equação, temos:<br /><br />$-\log(8) = -0.9$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por -1, temos:<br /><br />$\log(8) = 0.9$<br /><br />Agora,