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Física
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Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variável, é fundamental compreender como a densidade se distribui ao longo da superficie. A função densidade descreve essa variação, e a massa total da chapa é determinada integrando essa função sobre a área da superficic. Assim, para calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no plano XY.Esse método permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de toda a chapa. Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY,com vértices nos pontos (0,0),(3, 0),(0,4) e (3,4) todos em centimetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto P é dada por delta (x,y)=2x^2y em g/cm^2 assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa: A) 123 g. B) + 144 g. C) 198 g. D) 167 g. E) 184g.

Pergunta

Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variável, é fundamental compreender como a densidade se distribui ao longo da superficie. A função densidade descreve essa variação, e a massa total da chapa é determinada integrando essa função sobre a área da superficic. Assim, para calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no plano XY.Esse método permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de toda a chapa. Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY,com vértices nos pontos (0,0),(3, 0),(0,4) e (3,4) todos em centimetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto P é dada por delta (x,y)=2x^2y em g/cm^2 assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa: A) 123 g. B) + 144 g. C) 198 g. D) 167 g. E) 184g.

Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variável, é fundamental compreender como a densidade se distribui ao longo da superficie. A função densidade descreve essa variação, e a massa total da chapa é determinada integrando essa função sobre a área da superficic. Assim, para calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no plano XY.Esse método permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de toda a chapa. Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY,com vértices nos pontos (0,0),(3, 0),(0,4) e (3,4) todos em centimetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto P é dada por delta (x,y)=2x^2y em g/cm^2 assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa: A) 123 g. B) + 144 g. C) 198 g. D) 167 g. E) 184g.

Solução

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Julia MariaElite · Tutor por 8 anos

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Para calcular a massa da chapa, precisamos realizar a integral dupla da função densidade \(\delta(x, y) = 2x^2y\) sobre a região definida pelo retângulo com vértices nos pontos \((0,0)\), \((3,0)\), \((0,4)\) e \((3,4)\).<br /><br />A integral dupla é dada por:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{3} \int_{0}^{4} 2x^2y \, dy \, dx<br />\]<br /><br />Primeiro, integramos em relação a \(y\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{4} 2x^2y \, dy = \left[ x^2y^2 \right]_{0}^{4} = x^2(16) - x^2(0) = 16x^2<br />\]<br /><br />Agora, integramos em relação a \(x\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{3} 16x^2 \, dx = 16 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = 16 \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 16 \times 9 = 144<br />\]<br /><br />Portanto, a massa da chapa é 144 g.<br /><br />A resposta correta é a alternativa B) 144 g.
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