3. (Unifap) Seja a equação quadritica ax^2+bx+c=0 ondea, becsáo oscoeficiente reais (aneq 0) Seasoma das raizes da equação quadratica é (2)/(15) e a diferença entre a soma das raizes eo dobro do produto das rakes e(4)/(15) então a diferença entre a maioreamenor raize: a) (4)/(15) d) (7)/(15) b) (1)/(3) e) (8)/(15) c) (6)/(15)

Para resolver essa questão, vamos utilizar as informações fornecidas sobre a soma das raízes e a diferença entre elas.<br /><br />Seja x1 e x2 as raízes da equação quadrática. Sabemos que:<br /><br />Soma das raízes: x1 + x2 = 2/15<br />Diferença entre a soma das raízes e o dobro do produto das raízes: (x1 + x2) - 2(x1 * x2) = 4/15<br /><br />Podemos reescrever a segunda equação substituindo o valor da soma das raízes:<br /><br />(2/15) - 2(x1 * x2) = 4/15<br /><br />Simplificando a equação:<br /><br />2(x1 * x2) = 2/15 - 4/15<br />2(x1 * x2) = -2/15<br /><br />Dividindo ambos os lados por 2:<br /><br />x1 * x2 = -1/15<br /><br />Agora, podemos utilizar a soma e o produto das raízes para encontrar a diferença entre a maior e a menor raiz. Sabemos que:<br /><br />x1 + x2 = 2/15<br />x1 * x2 = -1/15<br /><br />Podemos resolver esse sistema de equações usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a<br /><br />Nesse caso, a = 1, b = -2/15 e c = -1/15. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />x1,2 = (2/15 ± √((2/15)² - 4(1)(-1/15))) / 2(1)<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz:<br /><br />x1,2 = (2/15 ± √(4/225 + 4/15)) / 2<br /><br />x1,2 = (2/15 ± √(4/225 + 60/225)) / 2<br /><br />x1,2 = (2/15 ± √(64/225)) / 2<br /><br />x1,2 = (2/15 ± 8/15) / 2<br /><br />Portanto, as raízes são:<br /><br />x1 = (2/15 - 8/15) / 2 = -6/15 = -2/5<br />x2 = (2/15 + 8/15) / 2 = 10/15 = 2/3<br /><br />A diferença entre a maior e a menor raiz é:<br /><br />2/3 - (-2/5) = 2/3 + 2/5 = 10/15 + 6/15 = 16/15<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />e) $\frac {16}{15}$