1) (2 pontos)Determine o limite: a) lim _(xarrow 2)(2x^2+4x-16)/(x-2) b) lim _(xarrow 1)(ln(2x))/(x-1) c) lim _(xarrow infty )(x^2-25)/(x^2)+xcosx d) lim _(xarrow 4)(2x-4)/(x^2)-16

Vamos corrigir e detalhar as respostas:

a) $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 4x - 16}{x - 2}$

Primeiro, fatoramos o numerador:
$$2x^2 + 4x - 16 = 2(x^2 + 2x - 8) = 2(x + 4)(x - 2)$$

Então, a expressão se torna:
$$\frac{2(x + 4)(x - 2)}{x - 2}$$

Cancelamos o termo $(x - 2)$:
$$\lim_{x \to 2} 2(x + 4) = 2(2 + 4) = 2 \cdot 6 = 12$$

Portanto, a resposta correta é:
a) 12

b) $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(2x)}{x - 1}$

Usamos a regra de L'Hôpital, pois temos uma forma indeterminada $\frac{0}{0}$:
$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(2x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}[\ln(2x)]}{\frac{d}{dx}[x - 1]} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$$

Portanto, a resposta correta é:
b) 1

c) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 25}{x^2 + x \cos(x)}$

Dividimos o numerador e o denominador por $x^2$:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \25}{x^2}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{\cos(x)}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 0}{1 + 0 + 0} = 1$$

Portanto, a resposta correta é:
c) 1

d) $\lim_{x \to 4} \frac{2x - 4}{x^2 - 16}$

Fatoramos o denominador:
$$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$

Então, a expressão se torna:
$$\frac{2(x - 2)}{(x - 4)(x + 4)}$$

Cancelamos o termo $(x - 4)$:
$$\lim_{x \to 4} \frac{2(x - 2)}{x + 4} = \frac{2(4 - 2)}{4 + 4} = \frac{2 \cdot 2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Portanto, a resposta correta é:
d) $\frac{1}{2}$