2. (2 pontos ) Resolva os problemas de valor inicialResolva os problemas de valor inicial abaixo: (a) ) (dy)/(dx)=(2x-y)/(x-2y) y(1)=3 (b) ) ydx+x(lnx-lny-1)dy=0 y(1)=e

(a) Para resolver o problema de valor inicial dado, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x - 2y}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $dx$, temos:<br /><br />$dy = \frac{2x - y}{x - 2y} dx$<br /><br />Agora, podemos separar as variáveis $y$ e $x$:<br /><br />$\frac{dy}{y - \frac{2x}{2}} = \frac{dx}{x - 2y}$<br /><br />Integrando ambos os lados, obtemos:<br /><br />$\int \frac{dy}{y - \frac{2x}{2}} = \int \frac{dx}{x - 2y}$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição adequada. Vamos definir $u = y - \frac{2x}{2}$, então $du = dy - x dx$. Substituindo isso na integral, temos:<br /><br />$\int \frac{du}{u} = \int \frac{x dx}{x - 2y}$<br /><br />A integral do lado esquerdo é simplesmente $\ln|u|$. Para a integral do lado direito, podemos fazer uma substituição semelhante. Vamos definir $v = x - 2y$, então $dv = dx - 2 dy$. Substituindo isso na integral, temos:<br /><br />$\ln|u| = \int \frac{x dx}{x - 2y}$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar a substituição $u = x - 2y$, então $du = dx - 2 dy$. Substituindo isso na integral, temos:<br /><br />$\ln|u| = \int \frac{x dx}{u}$<br /><br />A integral do lado direito é simplesmente $\ln|x|$. Portanto, temos:<br /><br />$\ln|u| = \ln|x| + C$<br /><br />onde $C$ é uma constante de integração. Agora, podemos resolver para $u$:<br /><br />$u = x e^{C}$<br /><br />Substituindo $u = y - \frac{2x}{2}$, temos:<br /><br />$y - \frac{2x}{2} = x e^{C}$<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />$y = x \left(1 + e^{C}\right)$<br /><br />Agora, podemos usar a condição inicial $y(1) = 3$ para encontrar o valor de $C$. Substituindo $x = 1$ e $y = 3$ na equação, temos:<br /><br />$3 = 1 \left(1 + e^{C}\right)$<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />$e^{C} = 2$<br /><br />Portanto, $C = \ln(2)$. Substituindo isso na equação para $y$, temos:<br /><br />$y = x \left(1 + \ln(2)\right)$<br /><br />(b) Para resolver o problema de valor inicial dado, podemos usar o método de separação de variáveis novamente. Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:<br /><br />$y dx + x (\ln x - \ln y - 1) dy = 0$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $dx$, temos:<br /><br />$y dx + x (\ln x - \ln y - 1) dy = 0$<br /><br />Agora, podemos separar as variáveis $y$ e $x$:<br /><br />$\frac{dy}{y (\ln x - \ln y - 1)} = -\frac{dx}{x}$<br /><br />Integrando ambos os lados, obtemos:<br /><br />$\int \frac{dy}{y (\ln x - \ln y - 1)} = -\int \frac{dx}{x}$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar a substituição $u = \ln x - \ln y - 1$, então $du = \frac{dx}{x} - \frac{dy}{y}$. Substituindo isso na integral, temos:<br /><br />$\int \frac{du}{u} = -\int \frac{dx}{x}$<br /><br />A integral do lado esquerdo é simplesmente $\ln|u|$. Para a integral do lado direito, podemos usar a substituição $v = \ln x$, então $dv = \frac{dx}{x}$. Substituindo isso na integral, temos:<br /><br />$\ln|u| = -v + C$<br /><br />onde $C$ é uma constante de integração. Agora, podemos resolver para $u$:<br /><br />$u = e^{-v