1 senx(dy)/(dx)+(cosx)y=sen(x^2)

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método de fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação diferencial na forma padrão:<br /><br />$\frac{dy}{dx} + \cos(x)y = \sin(x^2)$<br /><br />Agora, podemos encontrar o fator integrante multiplicando o fator de diferença das funções de $y$ e $x$ pelos termos correspondentes da equação diferencial. Neste caso, o fator integrante é $\mu(x) = e^{\int \cos(x)dx} = e^{\sin(x)}$.<br /><br />Multiplicando ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante, temos:<br /><br />$e^{\sin(x)}\frac{dy}{dx} + e^{\sin(x)}\cos(x)y = e^{\sin(x)}\sin(x^2)$<br /><br />Agora, podemos reescrever a equação diferencial na forma:<br /><br />$\frac{d}{dx}(e^{\sin(x)}y) = e^{\sin(x)}\sin(x^2)$<br /><br />Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a $x$:<br /><br />$\int \frac{d}{dx}(e^{\sin(x)}y)dx = \int e^{\sin(x)}\sin(x^2)dx$<br /><br />A integral do lado esquerdo é simplesmente $e^{\sin(x)}y$, enquanto a integral do lado direito requer uma substituição. Vamos fazer a substituição $u = x^2$, então $du = 2xdx$ ou $dx = \frac{du}{2x}$. Substituindo, temos:<br /><br />$\int e^{\sin(x)}\sin(x^2)dx = \int e^{\sin(u)}\sin(u)\frac{du}{2x}$<br /><br />Podemos simplificar a integral do lado direito usando a identidade $\sin(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}\sqrt{4u - u^2}$:<br /><br />$\int e^{\sin(u)}\sin(u)\frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int e^{\sin(u)}\sin(u)\frac{du}{\sqrt{4u - u^2}}$<br /><br />Agora, podemos resolver a integral do lado direito usando uma substituição adequada. No entanto, a integral exata pode ser complexa e pode requerer técnicas avançadas de integração ou aproximação numérica.