Para determinar o centro de massa de uma regilo bidimensional com densidade variavel.utilizamos os momentos Mx e My.Esses momentos salo calculados separadamente e sao dados por: M_(a)=iint _(R)ydelta (x,y)dA M_(v)=iint _(R)xdelta (x,y)dA Em que delta (x,y) é a função densidade da massa e Ré a região de integração. A massa total M é então calculada como: M=iint _(R)delta (x,y)dA centro de massa (x,y) é então obtido por: bar (x)=(M_(y))/(M) bar (y)=(M_(x))/(M) Esses cálculos permitem encontrar a posição média da massa na região. Fonte: SILVA, F. J.: GARCIA, M. P.Introdução ao Cálculo de Várias Variáveis. 2.ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015. 28/10/2024 00:28 aboutblank Considere então uma chapa R, definida no plano XY, pela imagem a seguir: Sabendo que a sua função densidade é descrita por 8(x,y)=2xy^2 determine: a) (3 pontos) A massa da chapa.

Para determinar a massa da chapa \( R \) com densidade variável \(\delta(x,y) = 2xy^2\), precisamos calcular a integral dupla da função densidade sobre a região \( R \).<br /><br />A massa \( M \) é dada por:<br />\[ M = \iint_R \delta(x,y) \, dA \]<br /><br />Substituindo a função densidade:<br />\[ M = \iint_R 2xy^2 \, dA \]<br /><br />Precisamos definir os limites de integração para a região \( R \). Supondo que a região \( R \) seja um retângulo definido por \( 0 \leq x \leq a \) e \( 0 \leq y \leq b \), a integral se torna:<br /><br />\[ M = \int_0^a \int_0^b 2xy^2 \, dy \, dx \]<br /><br />Primeiro, integramos em relação a \( y \):<br /><br />\[ \int_0^b 2xy^2 \, dy = 2x \int_0^b y^2 \, dy = 2x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^b = 2x \cdot \frac{b^3}{3} = \frac{2xb^3}{3} \]<br /><br />Agora, integramos em relação a \( x \):<br /><br />\[ M = \int_0^a \frac{2xb^3}{3} \, dx = \frac{2b^3}{3} \int_0^a x \, dx = \frac{2b^3}{3} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^a = \frac{2b^3}{3} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2 b^3}{3} \]<br /><br />Portanto, a massa da chapa é:<br /><br />\[ M = \frac{a^2 b^3}{3} \]