Uma chapa de aluminio e outra de cobre têm áreas respectivan nente iguais a 80cm^2 e 80,4cm^2 a 0^circ C . Sabendo que beta _(A)=48cdot 10^-6^(circ C)^-1 are beta _(O)=34cdot 10^-60C^-1 determine a temperatura em que elas terão areas iguais. ... 361.5^circ C

Para determinar a temperatura em que as chapas de alumínio e cobre terão áreas iguais, podemos usar a fórmula da dilatação linear:<br /><br />\[<br />\Delta L = \alpha \cdot L \cdot \Delta T<br />\]<br /><br />Onde:<br />- \(\Delta L\) é a mudança no comprimento,<br />- \(\alpha\) é o coeficiente de dilatação linear,<br />- \(L\) é o comprimento inicial,<br />- \(\Delta T\) é a mudança de temperatura.<br /><br />Para que as áreas sejam iguais, a mudança no comprimento deve ser igual para ambas as chapas. Portanto, podemos igualar as equações de dilatação linear para as duas chapas:<br /><br />Para a chapa de alumínio:<br />\[<br />\Delta L_A = \beta_A \cdot L_A \cdot \Delta T<br />\]<br /><br />Para a chapa de cobre:<br />\[<br />\Delta L_O = \beta_O \cdot L_O \cdot \Delta T<br />\]<br /><br />Como as áreas são iguais, podemos escrever:<br />\[<br />L_A \cdot L_A = L_O \cdot L_O<br />\]<br /><br />Substituindo as mudanças de comprimento:<br />\[<br />\beta_A \cdot L_A \cdot \Delta T = \beta_O \cdot L_O \cdot \Delta T<br />\]<br /><br />Simplificando:<br />\[<br />\beta_A \cdot L_A = \beta_O \cdot L_O<br />\]<br /><br />Isso implica que:<br />\[<br />\frac{\beta_A}{\beta_O} = \frac{L_O}{L_A}<br />\]<br /><br />Substituindo os valores fornecidos:<br />\[<br />\frac{48 \cdot 10^{-6}}{34 \cdot 10^{-6}} = \frac{L_O}{L_A}<br />\]<br /><br />Simplificando:<br />\[<br />\frac{48}{34} = \frac{L_O}{L_A}<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{24}{17} = \frac{L_O}{L_A}<br />\]<br /><br />Isso significa que a chapa de cobre deve se expandir 24/17 vezes mais do que a chapa de alumínio para que suas áreas sejam iguais. Como a temperatura inicial é \(0^{\circ}C\), precisamos calcular a temperatura em que isso ocorrerá.<br /><br />Para a chapa de alumínio:<br />\[<br />\Delta T = \frac{\Delta A}{\beta_A \cdot L_A}<br />\]<br /><br />Para a chapa de cobre:<br />\[<br />\Delta T = \frac{\Delta A}{\beta_O \cdot L_O}<br />\]<br /><br />Como as áreas são iguais:<br />\[<br />\Delta T = \frac{L_A}{\beta_A} = \frac{L_O}{\beta_O}<br />\]<br /><br />Substituindo os valores:<br />\[<br />\Delta T = \frac{L_A}{48 \cdot 10^{-6}} = \frac{L_O}{34 \cdot 10^{-6}}<br />\]<br /><br />Como \(L_A = L_O\):<br />\[<br />\Delta T = \frac{L_A}{48 \cdot 10^{-6}} = \frac{L_A}{34 \cdot 10^{-6}}<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta T = \frac{34 \cdot 10^{-6}}{48 \cdot 10^{-6}}<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta T = \frac{34}{48}<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta T = \frac{17}{24}<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta T = 0.708^{\circ}C<br />\]<br /><br />Portanto, a temperatura em que as chapas de alumínio e cobre terão áreas iguais é \(0.708^{\circ}C\).