y=(sen2y)/(cosx) 3) Uma escada com 13 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1,3m/s quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 5 m da parede? (1,4) "Desistir é a saida para os fracos, insistir é a alternativa dos fortes." Anônimo.

Para resolver o problema da escada, podemos usar o teorema de Pitágoras e a regra da cadeia. Vamos definir as variáveis:<br /><br />- \( x \): distância da base da escada à parede.<br />- \( y \): altura do topo da escada na parede.<br />- \( z \): comprimento da escada, que é constante (13 m).<br /><br />De acordo com o teorema de Pitágoras, temos:<br /><br />\[ x^2 + y^2 = z^2 \]<br /><br />Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo \( t \), obtemos:<br /><br />\[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0 \]<br /><br />Sabemos que \( \frac{dx}{dt} = 1,3 \, \text{m/s} \). Precisamos encontrar \( \frac{dy}{dt} \) quando \( x = 5 \, \text{m} \).<br /><br />Primeiro, encontramos \( y \) quando \( x = 5 \, \text{m} \):<br /><br />\[ 5^2 + y^2 = 13^2 \]<br />\[ 25 + y^2 = 169 \]<br />\[ y^2 = 144 \]<br />\[ y = \sqrt{144} = 12 \, \text{m} \]<br /><br />Agora, substituímos os valores conhecidos na equação diferencial:<br /><br />\[ 5 \cdot 1,3 + 12 \cdot \frac{dy}{dt} = 0 \]<br />\[ 6,5 + 12 \cdot \frac{dy}{dt} = 0 \]<br />\[ 12 \cdot \frac{dy}{dt} = -6,5 \]<br />\[ \frac{dy}{dt} = -\frac{6,5}{12} \]<br />\[ \frac{dy}{dt} = -\frac{65}{120} \]<br />\[ \frac{dy}{dt} = -\frac{13}{24} \, \text{m/s} \]<br /><br />Portanto, a velocidade com que o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 5 m da parede é \( -\frac{13}{24} \, \text{m/s} \). O sinal negativo indica que o topo está descendo.