Questão 4 Considere a função f(x,y)=2x^3+xy-y Com base nessa função e nas propriedades de derivadas parciais de primeira e segunda ordem de fung de duas variáveis, analise os itens que seguem. I. A derivada parcial de primeira ordem da função em relação à xé dada por f_(x)=2x^2 II. A derivada parcial de segunda ordem da função em relação à y é dada por f_(Yy)=0. III. A derivada parcial de segunda ordem mista da função é dada por f_(xy)=f_(yx)=x. Assinale a alternativa correta. Apenas o item III está correto Apenas os itens le II estão corretos. Apenas o item I está correto. Apenas o item II está correto. Os itens I, II e III estão corretos.

Vamos analisar cada item para verificar sua correção:<br /><br />I. A derivada parcial de primeira ordem da função em relação à x é dada por $f_{x}=2x^{2}$.<br />Esta afirmação está correta. A derivada parcial de primeira ordem de $f$ em relação a $x$ é dada por $f_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}$, o que resulta em $f_{x}=6x^{2}+y$.<br /><br />II. A derivada parcial de segunda ordem da função em relação à y é dada por $f_{Yy}=0$.<br />Esta afirmação está correta. A derivada parcial de segunda ordem de $f$ em relação a $y$ é dada por $f_{yy}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$, o que resulta em $f_{yy}=0$.<br /><br />III. A derivada parcial de segunda ordem mista da função é dada por $f_{xy}=f_{yx}=x$.<br />Esta afirmação está correta. A derivada parcial mista de $f$ é dada por $f_{xy}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ e $f_{yx}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}$. Ambas resultam em $f_{xy}=f_{yx}=2x$.<br /><br />Portanto, a alternativa correta é: "Os itens I, II e III estão corretos."