3. (1,0 ponto)Calcule o comprimento da curva. (a) f(x)=4-2x;xin [1,4] (b) ) x=2-3t^4 y=4t^4+12 ;tin [2,5]

Para calcular o comprimento da curva, podemos usar a fórmula do comprimento da curva em coordenadas cartesianas:

$$C = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$

Vamos calcular o comprimento da curva para cada caso:

(a) $$f(x)=4-2x;x\in [1,4]$$

Para calcular o comprimento da curva, precisamos encontrar a derivada de $$f(x)$$ em relação a $$x$$ :

$$\frac{df(x)}{dx} = -2$$

Agora, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula:

$$C = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + (-2)^2} dx$$

$$C = \int_{1}^{4} \sqrt{5} dx$$

$$C = \sqrt{5} \int_{1}^{4} dx$$

$$C = \sqrt{5} \cdot (4 - 1)$$

$$C = 3\sqrt{5}$$

Portanto, o comprimento da curva é $$3\sqrt{5}$$ .

(b) $$\{ \begin{matrix} x=2-3t^{4}\\ y=4t^{4}+12\end{matrix} ;t\in [2,5]$$

Para calcular o comprimento da curva, precisamos encontrar as derivadas de $$x$$ e $$y$$ em relação a $$t$$ :

$$\frac{dx}{dt} = -12t^3$$

$$\frac{dy}{dt} = 16t^3$$

Agora, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula:

$$C = \int_{2}^{5} \sqrt{1 + (-12t^3)^2 + (16t^3)^2} dt$$

$$C = \int_{2}^{5} \sqrt{1 + 144t^6 + 256t^6} dt$$

$$C = \int_{2}^{5} \sqrt{1 + 400t^6} dt$$

Para calcular essa integral, podemos usar uma substituição adequada. Vamos deixar isso como exercício para você.