3. (1,0) Mostre que a séri e geométrica sum _(n=1)^infty ar^n , com aneq 0 , converge para (a)/(1-r) quando vert rvert lt 1

Para mostrar que a série geométrica $\sum_{n=1}^{\infty} ar^n$, com $a \neq 0$, converge para $\frac{a}{1-r}$ quando $|r| < 1$, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.<br /><br />A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é dada por:<br /><br />$\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$, onde $|r| < 1$<br /><br />No caso da série $\sum_{n=1}^{\infty} ar^n$, podemos reescrevê-la como:<br /><br />$\sum_{n=1}^{\infty} ar^n = a \sum_{n=1}^{\infty} r^n$<br /><br />Agora, podemos aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:<br /><br />$a \sum_{n=1}^{\infty} r^n = a \cdot \frac{1}{1-r}$<br /><br />Portanto, a série geométrica $\sum_{n=1}^{\infty} ar^n$ converge para $\frac{a}{1-r}$ quando $|r| < 1$.