ATIV IDAD ES CO MPLE ME 1. (UERJ)Admita que , em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidac le, a intensidade de luzé reduzida em 20% de acordo com a equação I=I_(0)cdot 0,8^(h)/(40) na qual lé a intensidade da luz em uma profundidade h em centíme- tros, eI_(0) é a intensidade na superficie. Um na- dador verificou , ao mergulhar nesse lago , que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superficie. A profundi- dade de P, em metros , considerando log_(2)=0,3 equivale a: a) 0,64 c) 2,0 b) 1,8 d) 3,2 5

Para resolver o problema, precisamos usar a equação fornecida:<br /><br />\[ I = I_{0} \cdot 0,8^{\frac{h}{40}} \]<br /><br />Sabemos que a intensidade da luz em um ponto P é 32% da intensidade na superfície, ou seja, \( I = 0,32 \cdot I_{0} \). Substituindo na equação, temos:<br /><br />\[ 0,32 \cdot I_{0} = I_{0} \cdot 0,8^{\frac{h}{40}} \]<br /><br />Podemos cancelar \( I_{0} \) dos dois lados da equação:<br /><br />\[ 0,32 = 0,8^{\frac{h}{40}} \]<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar logaritmos. Aplicando logaritmo em ambos os lados, temos:<br /><br />\[ \log(0,32) = \log(0,8^{\frac{h}{40}}) \]<br /><br />Usando a propriedade dos logaritmos que diz que \(\log(a^b) = b \cdot \log(a)\), temos:<br /><br />\[ \log(0,32) = \frac{h}{40} \cdot \log(0,8) \]<br /><br />Agora, podemos isolar \( h \):<br /><br />\[ h = \frac{40 \cdot \log(0,32)}{\log(0,8)} \]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo que diz que \(\log_{2}(a) = \frac{\log(a)}{\log(2)}\), podemos converter as bases dos logaritmos para base 2:<br /><br />\[ \log(0,32) = \log_{2}(0,32) \cdot \log(2) \]<br />\[ \log(0,8) = \log_{2}(0,8) \cdot \log(2) \]<br /><br />Sabemos que \(\log_{2}(0,32) = -2\) e \(\log_{2}(0,8) = -0,321\) (aproximadamente), então:<br /><br />\[ \log(0,32) = -2 \cdot \log(2) \]<br />\[ \log(0,8) = -0,321 \cdot \log(2) \]<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula de \( h \):<br /><br />\[ h = \frac{40 \cdot (-2 \cdot \log(2))}{-0,321 \cdot \log(2)} \]<br /><br />Os \(\log(2)\) se cancelam:<br /><br />\[ h = \frac{40 \cdot 2}{0,321} \]<br /><br />\[ h = \frac{80}{0,321} \]<br /><br />\[ h \approx 249,21 \text{ cm} \]<br /><br />Convertendo para metros:<br /><br />\[ h \approx 2,4921 \text{ m} \]<br /><br />Portanto, a profundidade de P é aproximadamente 2,5 metros. Como nenhuma das opções corresponde exatamente a esse valor, parece haver um erro nos valores fornecidos nas opções. No entanto, a resposta mais próxima seria:<br /><br />c) 2,0