ermi Seja M uma matriz quadrada de ordem 3 inversivel, que satisfaza igualdade det (2M^2)-det(sqrt [2](2)M')=(2)/(9)det(3M) Um valor possivel pa determinante da inversa de Mé: a) (1)/(3) b) (1)/(2) c) (2)/(3) d) (4)/(5) E ) (5)/(4)

Para resolver esse problema, vamos utilizar algumas propriedades das matrizes e dos determinantes.<br /><br />Dado que M é uma matriz quadrada de ordem 3 inversível, podemos escrever:<br /><br />det(2M^2) = 2^3 * det(M^2) = 8 * det(M^2)<br /><br />det(√2M') = √2^3 * det(M') = 2√2 * det(M')<br /><br />det(3M) = 3^3 * det(M) = 27 * det(M)<br /><br />Substituindo esses valores na igualdade dada, temos:<br /><br />8 * det(M^2) - 2√2 * det(M') = (2/9) * 27 * det(M)<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />8 * det(M^2) - 2√2 * det(M') = 6 * det(M)<br /><br />Agora, vamos considerar que det(M) = k, onde k é um valor constante.<br /><br />Substituindo det(M) = k na expressão acima, temos:<br /><br />8 * k^2 - 2√2 * k' = 6 * k<br /><br />Podemos reescrever essa equação como:<br /><br />8k^2 - 2√2k' = 6k<br /><br />Agora, vamos isolar k' na equação:<br /><br />2√2k' = 8k^2 - 6k<br /><br />k' = (8k^2 - 6k) / (2√2)<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />k' = (4k^2 - 3k) / √2<br /><br />Agora, vamos substituir k' na expressão original:<br /><br />det(M^-1) = 1 / det(M)<br /><br />det(M^-1) = 1 / ((4k^2 - 3k) / √2)<br /><br />det(M^-1) = √2 / (4k^2 - 3k)<br /><br />Para encontrar um valor possível para det(M^-1), precisamos encontrar um valor de k que satisfaça a equação acima.<br /><br />Vamos testar as opções fornecidas:<br /><br />a) k = 1/3<br /><br />Substituindo k = 1/3 na expressão acima, temos:<br /><br />det(M^-1) = √2 / (4(1/3)^2 - 3(1/3))<br /><br />det(M^-1) = √2 / (4/9 - 1)<br /><br />det(M^-1) = √2 / (-5/9)<br /><br />det(M^-1) = -18/5<br /><br />Portanto, a opção a) não é uma solução válida.<br /><br />b) k = 1/2<br /><br />Substituindo k = 1/2 na expressão acima, temos:<br /><br />det(M^-1) = √2 / (4(1/2)^2 - 3(1/2))<br /><br />det(M^-1) = √2 / (4/4 - 3/2)<br /><br />det(M^-1) = √2 / (1 - 3/2)<br /><br />det(M^-1) = √2 / (-1/2)<br /><br />det(M^-1) = -2√2<br /><br />Portanto, a opção b) não é uma solução válida.<br /><br />c) k = 2/3<br /><br />Substituindo k = 2/3 na expressão acima, temos:<br /><br />det(M^-1) = √2 / (4(2/3)^2 - 3(2/3))<br /><br />det(M^-1) = √2 / (4(4/9) - 2)<br /><br />det(M^-1) = √2 / (16/9 - 2)<br /><br />det(M^-1) = √2 / (16/9 - 18/9)<br /><br />det(M^-1) = √2 / (-2/9)<br /><br />det(M^-1) = -9√2/2<br /><br />Portanto, a opção c) não é uma solução válida.<br /><br />d) k = 4/5<br /><br />Substituindo k = 4/5 na expressão acima, temos:<br /><br />det(M^-1) = √2 / (4(4/5)^2 - 3(4/5))<br /><br />det(M^-1) = √2 / (4(16/25) - 12/5)<br /><br />det(M^-1) = √2 / (64/25 - 12/5)<br /><br />det(M^-1) = √2 / (64/25 - 60/25)<br /><br />det(M^-1) = √2 / 4/25<br /><br />det(M^-1) = 25√2/4<br /><br />Portanto, a opção d) é uma solução válida.<br /><br />e) k = 5/4<br /><br />Substituindo