3) Determinar as coordenadas do vetor overrightarrow (v) sabendo-se que overrightarrow (v) é ortogonal aos vetores overrightarrow (v)_(1)=(2,3,-1) e overrightarrow (v)_(2)=(1,-2,3) e que satisfaz à condição overrightarrow (v)cdot (2overrightarrow (i)-overrightarrow (j)+overrightarrow (k))=6

Para determinar as coordenadas do vetor $\overrightarrow{v}$, podemos usar o produto escalar e a condição dada.<br /><br />Sabemos que $\overrightarrow{v}$ é ortogonal aos vetores $\overrightarrow{v}_{1}$ e $\overrightarrow{v}_{2}$, o que significa que o produto escalar de $\overrightarrow{v}$ com esses vetores é igual a zero:<br /><br />$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}_{1} = 0$<br />$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}_{2} = 0$<br /><br />Substituindo as coordenadas dos vetores $\overrightarrow{v}_{1}$ e $\overrightarrow{v}_{2}$, temos:<br /><br />$\overrightarrow{v} \cdot (2,3,-1) = 0$<br />$\overrightarrow{v} \cdot (1,-2,3) = 0$<br /><br />Vamos chamar as coordenadas do vetor $\overrightarrow{v}$ de $(x, y, z)$. Então, podemos escrever as equações como:<br /><br />$2x + 3y - z = 0$<br />$x - 2y + 3z = 0$<br /><br />Agora, podemos usar a condição dada $\overrightarrow{v} \cdot (2\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}) = 6$ para encontrar mais uma equação:<br /><br />$2x - y + z = 6$<br /><br />Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:<br /><br />$2x + 3y - z = 0$<br />$x - 2y + 3z = 0$<br />$2x - y + z = 6$<br /><br />Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar as coordenadas do vetor $\overrightarrow{v}$. Vamos chamar as soluções de $(x, y, z)$.<br /><br />Após resolver o sistema de equações, encontramos que as coordenadas do vetor $\overrightarrow{v}$ são:<br /><br />$\overrightarrow{v} = (2, -1, 1)$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção que corresponde a essas coordenadas.