9) (PUC-PR) Um elemento radioativo com Z=53eA=131 emite particulas alfa e beta, perdendo 75% de sua atividade em 32 dias. Determine o tempo de meia-vida deste radioisótopo. a) 8 dias. c) 5 dias. e) 2 dias. b) 16 dias. d) 4 dias.

Para determinar o tempo de meia-vida do radioisótopo, podemos usar a fórmula da decaimento radioativo:<br /><br />\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \]<br /><br />Onde:<br />- \( N(t) \) é a quantidade de radioisótopo restante após um tempo \( t \),<br />- \( N_0 \) é a quantidade inicial de radioisótopo,<br />- \( \lambda \) é a constante de decaimento,<br />- \( t \) é o tempo.<br /><br />Sabemos que a atividade do elemento radioativo diminuiu em 75% em 32 dias. A atividade é diretamente proporcional à quantidade de radioisótopo, então podemos usar a mesma fórmula para a atividade:<br /><br />\[ A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \]<br /><br />Onde:<br />- \( A(t) \)idade após um tempo \( t \),<br />- \( A_0 \) é a atividade inicial,<br />- \( \lambda \) é a constante de decaimento,<br />- \( t \) é o tempo.<br /><br />Sabemos que \( A(t) = 0,25 \cdot A_0 \) após 32 dias. Substituindo na fórmula da atividade, temos:<br /><br />\[ 0,25 \cdot A_0 = A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 32} \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por \( A_0 \), temos:<br /><br />\[ 0,25 = e^{-\lambda \cdot 32} \]<br /><br />Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, temos:<br /><br />\[ \ln(0,25) = -\lambda \cdot 32 \]<br /><br />\[ \ln(0,25) = -\ln(4) \]<br /><br />\[ \ln(0,25) = -2 \ln(2) \]<br /><br />\[ -2 \ln(2) = -\lambda \cdot 32 \]<br /><br />\[ \lambda = \frac{2 \ln(2)}{32} \]<br /><br />\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{16} \]<br /><br />Agora, podemos usar a fórmula da meia-vida:<br /><br />\[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \]<br /><br />Substituindo o valor de \( \lambda \), temos:<br /><br />\[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\frac{\ln(2)}{16}} \]<br /><br />\[ t_{1/2} = 16 \]<br /><br />Portanto, o tempo de meia-vida deste radioisótopo é de 16 dias.<br /><br />A resposta correta é a opção b) 16 dias.