A- Determine o trabalho realizado pelo campo overrightarrow (F)(x,y,z)=(z^2,2xy,4y^2) sobre uma particula que se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos (1,0,0),(1,2,1),(0,2,1) e de volta na origern. Determine o fluxo de overrightarrow (F)(x,y,z)=(zarctan(y^2),z^3ln(x^2+1),z) através da parte do parabolóide x^2+y^2+z=2 que está anima do plano z=1e tem orientação descendente.

Vamos corrigir e detalhar a solução para garantir que tudo esteja correto.<br /><br />### Parte A: Trabalho realizado pelo campo \(\overrightarrow{F}(x,y,z) = (z^2, 2xy, 4y^2)\)<br /><br />Para determinar o trabalho realizado pelo campo sobre uma partícula que se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos \((1,0,0)\), \((1,2,1)\), \((0,2,1)\) e de volta na origem, precisamos calcular a integral do produto do campo com o deslocamento ao longo de cada segmento.<br /><br />#### Segmento de reta da origem a \((1,0,0)\):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{r_1} = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0)<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{r_1} = (0,0,0) \cdot (1,0,0) = 0<br />\]<br /><br />Trabalho:<br /><br />\[<br />W_1 = \int_{0}^{1} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_{0}^{1} (z^2, 2xy, 4y^2) \cdot (dx, dy, dz) = \int_{0}^{1} (z^2 \, dx + 2xy \, dy + 4y^2 \, dz) = 0<br />\]<br /><br />#### Segmento de reta de \((1,0,0)\) a \((1,2,1)\):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{r_2} = (1,2,1) - (1,0,0) = (0,2,1)<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{r_2} = (1^2, 2 \cdot 1 \cdot 0, 4 \cdot 2^2) \cdot (0, 2, 1) = (1, 0, 16) \cdot (0, 2, 1) = 0 + 0 + 16 = 16<br />\]<br /><br />Trabalho:<br /><br />\[<br />W_2 = \int_{0}^{1} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_{0}^{1} (z^2 \, dx + 2xy \, dy + 4y^2 \, dz) = \int_{0}^{1} (1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot 1 + 4 \cdot 2^2 \cdot 1) = 16<br />\]<br /><br />#### Segmento de reta de \((1,2,1)\) a \((0,2,1)\):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{r_3} = (0,2,1) - (,1) = (-1,0,0)<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{r_3} = (1^2, 2 \cdot 1 \cdot 0, 4 \cdot 2^2) \cdot (-1, 0, 0) = (1, 0, 16) \cdot (-1, 0, 0) = -1 + 0 + 0 = -1<br />\]<br /><br />Trabalho:<br /><br />\[<br />W_3 = \int_{0}^{1} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_{0}^{1} (z^2 \, dx + 2xy \, dy + 4y^2 \, dz) = \int_{0}^{1} (1 \cdot -1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 + 4 \cdot 2^2 \cdot 0) = -1<br />\]<br /><br />#### Segmento de reta de \((0,2,1)\) de volta à origem:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{r_4} = (0,0,0) - (0,2,1) = (0,-2,-1)<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{r_4} = (1^2, 2 \cdot 0 \cdot 0, 4 \cdot 2^2) \cdot (0, -2, -1) = (1, 0, 16) \cdot (0, -2, -1) = 0 + 0 - 16 = -16<br />