2. Calcule int xdx-ydy onde gamma acute (e)0 segmento de extremidades (1,1) e (2,3) percorrido no sentido de (1,1) para (2,3)

Para calcular a integral de linha \(\int_{\gamma} (x \, dx - y \, dy)\), onde \(\gamma\) é o segmento de extremidades \((1,1)\) e \((2,3)\) percorrido no sentido de \((1,1)\) para \((2,3)\), podemos usar a fórmula da integral de linha:<br /><br />\[<br />\int_{\gamma} (x \, dx - y \, dy) = \int_{a}^{b} \left( x \frac{dx}{dt} - y \frac{dy}{dt} \right) dt<br />\]<br /><br />onde \(t\) é o parâmetro de parametrização da curva \(\gamma\), \(a\) e \(b\) são os valores de \(t\) nos pontos de extremidade, e \(\frac{dx}{dt}\) e \(\frac{dy}{dt}\) são as derivadas das coordenadas \(x\) e \(y\) em relação a \(t\).<br /><br />Para o segmento de linha dado, podemos escolher o parâmetro \(t\) como o tempo, onde \(t = 0\) corresponde a \((1,1)\) e \(t = 1\) corresponde a \((2,3)\). Assim, podemos escrever as coordenadas em termos de \(t\):<br /><br />\[<br />x(t) = 1 + t, \quad y(t) = 1 + 2t<br />\]<br /><br />Calculando as derivadas:<br /><br />\[<br />\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2<br />\]<br /><br />Agora, podemos calcular a integral de linha:<br /><br />\[<br />\int_{\gamma} (x \, dx - y \, dy) = \int_{0}^{1} \left( (1 + t) \cdot 1 -) \cdot 2 \right) dt<br />\]<br /><br />Simplificando a expressão dentro da integral:<br /><br />\[<br />= \int_{0}^{1} \left( 1 + t - 2 - 4t \right) dt<br />\]<br /><br />\[<br />= \int_{0}^{1} \left( -1 - 3t \right) dt<br />\]<br /><br />Agora, integramos:<br /><br />\[<br />= \left[ -t - \frac{3t^2}{2} \right]_{0}^{1}<br />\]<br /><br />Evaluando nos limites de integração:<br /><br />\[<br />= \left( -1 - \frac{3}{2} \right) - \left( -0 - \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right)<br />\]<br /><br />\[<br />= -\frac{5}{2} - 0<br />\]<br /><br />Portanto, o valor da integral de linha é \(-\frac{5}{2}\).