1. problema das N-Rainhas consiste em posicionar N rainhas em um tabuleiro de xadrez Ntimes N de forma que nenhuma rainha ataque outra. As rainhas podem atacar em linhas, colunas e diagonais, o que torna o problema uma tarefa combinatória desafiadora. a. Explique como a força bruta pode ser usada para resolver este problema, destacando suas limitações em termos de eficiência. b. Descreva como o backtracking (tentativa e erro) otimiza a busca por soluçōes, comparando-0 com a abordagem de força bruta. c. Analise as complexidades das duas estratégias, explicando por que o backtracking é mais eficiente na prática.

a. A abordagem de força bruta para resolver o problema das N-Rainhas consiste em tentar posicionar todas as N rainhas em um tabuleiro de xadrez $N \times N$ de forma que nenhuma rainha ataque outra. Para isso, é necessário verificar todas as possíveis posições para cada rainha, verificando se ela pode atacar alguma das outras rainhas já posicionadas. Essa abordagem é eficaz para pequenos valores de N, mas se torna impraticável para valores grandes devido ao grande número de combinações possíveis.<br /><br />b. O backtracking (tentativa e erro) é uma abordagem que utiliza uma estratégia de busca para otimizar a busca por soluções para o problema das N-Rainhas. Nessa abordagem, inicia-se com uma posição inicial para a primeira rainha e, em seguida, verifica-se se essa posição é válida, ou seja, se nenhuma rainha ataca a primeira rainha. Caso a posição seja válida, a primeira rainha é posicionada nessa posição e, em seguida, a busca prossegue para encontrar posições válidas para as outras rainhas. Se uma posição não for válida, a busca volta para a posição anterior e tenta outra posição. Essa abordagem é mais eficiente do que a força bruta, pois evita a necessidade de verificar todas as possíveis posições para cada rainha.<br /><br />c. A complexidade da abordagem de força bruta é O(N!), pois é necessário verificar todas as possíveis posições para cada rainha. Já a abordagem de backtracking tem uma complexidade de O(N^2), pois é necessário verificar apenas as posições adjacentes a cada rainha. O backtracking é mais eficiente na prática porque, ao utilizar uma estratégia de busca, é possível evitar a verificação de posições inválidas e, assim, reduzir o número de verificações necessárias. Além disso, a abordagem de backtracking permite que a busca seja interrompida assim que uma solução válida for encontrada, o que torna o processo mais eficiente em comparação com a abordagem de força bruta.