II) (UFSC ) Na progressão geométrica (10,2,(2)/(5),(2)/(25),ldots ) , a posição do termo (2)/(625) é:

Para determinar a posição do termo $\frac{2}{625}$ na progressão geométrica dada, podemos usar a fórmula geral para calcular o termo $n$-ésimo de uma progressão geométrica:<br /><br />$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$<br /><br />Onde:<br />- $a_n$ é o termo que queremos encontrar (neste caso, $\frac{2}{625}$)<br />- $a_1$ é o primeiro termo da progressão geométrica (neste caso, 10)<br />- $r$ é a razão da progressão geométrica (neste caso, $\frac{2}{5}$)<br />- $n$ é a posição do termo que queremos encontrar<br /><br />Substituindo os valores conhecidos na fórmula, temos:<br /><br />$\frac{2}{625} = 10 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{(n-1)}$<br /><br />Para encontrar o valor de $n$, podemos isolar a variável em uma equação:<br /><br />$\left(\frac{2}{5}\right)^{(n-1)} = \frac{2}{625} \div 10$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\left(\frac{2}{5}\right)^{(n-1)} = \frac{2}{6250}$<br /><br />Agora, podemos usar logaritmos para resolver a equação:<br /><br />$\log\left(\frac{2}{5}\right)^{(n-1)} =\left(\frac{2}{6250}\right)$<br /><br />Aplicando a propriedade de logaritmos que diz que $\log(a^b) = b \cdot \log(a)$, temos:<br /><br />$(n-1) \cdot \log\left(\frac{2}{5}\right) = \log\left(\frac{2}{6250}\right)$<br /><br />Dividindo ambos os lados da equação por $\log\left(\frac{2}{5}\right)$, temos:<br /><br />$n-1 = \frac{\log\left(\frac{2}{6250}\right)}{\log\left(\frac{2}{5}\right)}$<br /><br />Agora, podemos calcular o valor de $n$ usando uma calculadora ou software de matemática:<br /><br />$n-1 = \frac{\log\left(\frac{2}{6250}\right)}{\log\left(\frac{2}{5}\right)}$<br /><br />$n-1 \approx \frac{-3,204}{-0,301}$<br /><br />$n-1 \approx 10,67$<br /><br />$n \approx 11,67$<br /><br />Portanto, a posição do termo $\frac{2}{625}$ na progressão geométrica é aproximadamente 11.