4. (2,0) Verifique seT: R^3arrow R^3 dada por T:(x,y,z)=(x+z,y+z,x+y+2z) é diagonalizável.

Para verificar se a transformação linear T é diagonalizável, precisamos calcular a matriz diagonalizável de T. A matriz diagonalizável é dada por $P^{-1}AP$, onde A é a matriz de coeficientes da transformação T e P é a matriz dos vetores próprios de A.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a matriz de coeficientes A da transformação T:<br />$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$<br /><br />Em seguida, vamos calcular os autovalores de A. Para isso, calculamos o determinante da matriz A - λI, onde λ é um escalar:<br />$\text{det}(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}$<br /><br />Resolvendo o determinante, encontramos os autovalores: λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3.<br /><br />Agora, vamos calcular os vetores próprios correspondentes a cada autovalor. Para λ1 = 1, resolvemos o sistema (A - λ1I)X = 0:<br />$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$<br /><br />Obtemos o vetor próprio correspondente: v1 = [1, -1, 0].<br /><br />Para λ2 = 2, resolv sistema (A - λ2I)X = 0:<br />$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$<br /><br />Obtemos o vetor próprio correspondente: v2 = [1, 1, 1].<br /><br />Para λ3 = 3, resolvemos o sistema (A - λ3I)X = 0:<br />$\begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$<br /><br />Obtemos o vetor próprio correspondente: v3 = [1, 1, -1].<br /><br />A matriz diagonal P é formada pelos vetores próprios:<br />$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$<br /><br />A matriz diagonalizável de T é dada por $P^{-1}AP$.<br /><br />Portanto, a transformação T é diagonalizável.