10) Determine a area do triangulo com vértices X=(1,-2,3),Y=(-3,1,4),Z=(0,4,3)

Para determinar a área do triângulo com vértices \(X=(1,-2,3)\), \(Y=(-3,1,4)\) e \(Z=(0,4,3)\), podemos usar a fórmula da área de um triângulo dado seus vértices. A fórmula é:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{XY} \times \overrightarrow{XZ} \right| \]<br /><br />onde \(\overrightarrow{XY}\) é o vetor diretor do triângulo, que é obtido pela diferença entre os vetores \(Y\) e \(X\), e \(\overrightarrow{XZ}\) é o vetor diretor do triângulo, que é obtido pela diferença entre os vetores \(Z\) e \(X\).<br /><br />Calculando os vetores \(\overrightarrow{XY}\) e \(\overrightarrow{XZ}\):<br /><br />\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{Y} - \overrightarrow{X} = (-3,1,4) - (1,-2,3) = (-4,3,1)\)<br /><br />\(\overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{X} = (0,4,3) - (1,-2,3) = (-1,6,0)\)<br /><br />Calculando o produto vetorial \(\overrightarrow{XY} \times \overrightarrow{XZ}\):<br /><br />\(\overrightarrow{XY} \times \overrightarrow{XZ} = (-4,3,1) \times (-1,6,0) = (18, -4, 22)\)<br /><br />Calculando o módulo do vetor resultante:<br /><br />\(\left| \overrightarrow{XY} \times \overrightarrow{XZ} \right| = \sqrt{18^2 + (-4)^2 + 22^2} = \sqrt{324 + 16 + 484} = \sqrt{824} = 2\sqrt{206}\)<br /><br />Portanto, a área do triângulo é:<br /><br />\(\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{XY} \times \overrightarrow{XZ} \right| = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{206} = \sqrt{206}\)<br /><br />Portanto, a área do triângulo é \(\sqrt{206}\).