12) Em um salão de festas, com capacidade para 90 pessoas sentadas, as mesas eram todas iguais. Após uma reforma as mesas antigas foram trocadas por mesas maiores , também todas iguais. Em uma mesa nova podem se sentar 3 pessoas a mais do que nas antigas . Assim, com 5 mesas a menos , a capacidade do salão foi mantida. número de pessoas que podem se sentar na mesa nova é (A) 10. (C) 6.

Vamos resolver o problema passo a passo:<br /><br />1. **Capacidade total do salão antes da reforma:**<br /> - Capacidade total = 90 pessoas.<br /><br />2. **Capacidade de cada mesa antes da reforma:**<br /> - Seja \( x \) o número de pessoas que podiam se sentar em cada mesa antes da reforma.<br /> - Então, \( 90 = x \times \text{número de mesas} \).<br /><br />3. **Capacidade de cada mesa após a reforma:**<br /> - Após a reforma, cada nova mesa pode acomodar 3 pessoas a mais do que a antiga mesa.<br /> - Portanto, a nova capacidade de cada mesa é \( x + 3 \).<br /><br />4. **Número de mesas após a reforma:**<br /> - Houve uma redução de 5 mesas, então o novo número de mesas é \( \text{número de mesas antigas} - 5 \).<br /><br />5. **Capacidade total do salão após a reforma:**<br /> - A capacidade total do salão foi mantida, então:<br /> \[<br /> (x + 3) \times (\text{número de mesas antigas} - 5) = 90<br /> \]<br /><br />Vamos substituir \( \text{número de mesas antigas} \) por \( \frac{90}{x} \):<br /><br />\[<br />(x + 3) \times \left(\frac{90}{x} - 5\right) = 90<br />\]<br /><br />Resolvendo a equação:<br /><br />\[<br />(x + 3) \times \left(\frac{90 - 5x}{x}\right) = 90<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{(x + 3)(90 - 5x)}{x} = 90<br />\]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \( x \):<br /><br />\[<br />(x + 3)(90 - 5x) = 90x<br />\]<br /><br />Expandindo e simplificando:<br /><br />\[<br />90x + 270 - 5x^2 - 15x = 90x<br />\]<br /><br />\[<br />270 - 15x = 5x^2<br />\]<br /><br />\[<br />5x^2 + 15x - 270 = 0<br />\]<br /><br />Dividindo todos os termos por 5:<br /><br />\[<br />x^2 + 3x - 54 = 0<br />\]<br /><br />Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\[<br />x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br />\]<br /><br />onde \( a = 1 \), \( b = 3 \) e \( c = -54 \):<br /><br />\[<br />x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-54)}}{2 \times 1}<br />\]<br /><br />\[<br />x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}<br />\]<br /><br />\[<br />x = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2}<br />\]<br /><br />\[<br />x = \frac{-3 \pm 15}{2}<br />\]<br /><br />Isso nos dá duas soluções:<br /><br />\[<br />x = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{ou} \quad x = \frac{-18}{2} = -9<br />\]<br /><br />Como o número de pessoas por mesa não pode ser negativo, descartamos \( x = -9 \).<br /><br />Portanto, \( x = 6 \).<br /><br />A nova capacidade de cada mesa é:<br /><br />\[<br />x + 3 = 6 + 3 = 9<br />\]<br /><br />Portanto, o número de pessoas que podem se sentar na mesa nova é 9.<br /><br />A resposta correta é:<br /><br />(B) 9.