33. (Unicamp-SP)Plutão é considerado um planeta anão, com massa M_(p)=1cdot 10^22kg bem menor que a massa da Terra. O módulo entre as massas m_(1) e m_(2) é dado por F_(9)=G(m_(1)m_(2))/(r^2) em que ré a distância entre as massas e G a constante gravitacional. Em situações que envolvem distâncias astronômicas, a unidade de comprimento comumente utilizada é a Unidade Astronômica (UA). a) Considere que durante a sua aproxima- cão a Plutão, a sonda se encontra em uma posição que está d_(p)=0,15UA distante do centro de Plutão e d_(r)=30UA distante do centro da Terra Calcule a razão ((F_(gr))/(F_(g_(r)))) entre o módulo da força gravitacional com que a Terra atrai a sonda e o módulo da força gravitacional com que Plutão atrai a sonda. Caso necessário , use a massa da Terra M_(tau )=6cdot 10^24kg b) Suponha que a sonda New Horizons esta- beleça uma órbita circular com velocidade escalar orbital constante em torno de Plutão com um raio de r_(p)=1cdot 10^-4UA Obtenha o módulo da velocidade orbital nesse caso. Se necessário, use a constante

Vamos corrigir e detalhar os cálculos para garantir que tudo esteja correto.<br /><br />### Parte a)<br /><br />Para calcular a razão entre as forças gravitacionais, precisamos usar a fórmula da lei da gravitação universal:<br /><br />\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]<br /><br />#### Força gravitacional entre a Terra e a sonda:<br /><br />- Massa da Terra, \( M_{\tau} = 6 \times 10^{24} \) kg<br />- Massa da sonda, \( m_s \) (não fornecida, mas não é necessária para a razão)<br />- Distância da Terra ao centro da órbita da sonda, \( d_r = 30 \) UA<br /><br />\[ F_{\tau} = G \frac{M_{\tau} m_s}{d_r^2} \]<br /><br />#### Força gravitacional entre Plutão e a sonda:<br /><br />- Massa de Plutão, \( M_p = 1 \times 10^{22} \) kg<br />- Distância de Plutão ao centro da órbita da sonda, \( d_p = 0,15 \) UA<br /><br />\[ F_{p} = G \frac{M_p m_s}{d_p^2} \]<br /><br />#### Razão entre as forças gravitacionais:<br /><br />\[ \frac{F_{\tau}}{F_{p}} = \frac{G \frac{M_{\tau} m_s}{d_r^2}}{G \frac{M_p m_s}{d_p^2}} = \frac{M_{\tau}}{M_p} \cdot \frac{d_p^2}{d_r^2} \]<br /><br />Substituindo os valores:<br /><br />\[ \frac{F_{\tau}}{F_{p}} = \frac{6 \times 10^{24}}{1 \times 10^{22}} \cdot \frac{(0,15)^2}{30^2} \]<br /><br />\[ \frac{F_{\tau}}{F_{p}} = 60 \cdot \frac{0,0225}{900} \]<br /><br />\[ \frac{F_{\tau}}{F_{p}} = 60 \cdot 2,5 \times 10^{-5} \]<br /><br />\[ \frac{F_{\tau}}{F_{p}} = 1,5 \times 10^{-3} \]<br /><br />Portanto, a razão entre a força gravitacional com que a Terra atrai a sonda e a força gravitacional com que Plutão atrai a sonda é \( 1,5 \times 10^{-3} \).<br /><br />### Parte b)<br /><br />Para calcular a velocidade orbital, usamos a fórmula da velocidade orbital:<br /><br />\[ v = \sqrt{\frac{G M_p}{r}} \]<br /><br />Onde:<br />- \( G = 6,674 \times 10^{-11} \) m³/s²<br />- \( M_p = 1 \times 10^{22} \) kg<br />- \( r = 1 \times 10^{-4} \) UA (convertendo para metros)<br /><br />Primeiro, convertendo a distância para metros:<br /><br />\[ r = 1 \times 10^{-4} \times 1,496 \times 10^{11} \] m<br /><br />\[ r = 1,496 \times 10^7 \] m<br /><br />Agora, substituindo os valores na fórmula:<br /><br />\[ v = \sqrt{\frac{6,674 \times 10^{-11} \times 1 \times 10^{22}}{1,496 \times 10^7}} \]<br /><br />\[ v = \sqrt{\frac{6,674 \times 10^{11}}{1,496 \times 10^7}} \]<br /><br />\[ v = \sqrt{4,45 \times 10^4} \]<br /><br />\[ v \approx 213 \] m/s<br /><br />Portanto, a velocidade orbital da sonda New Horizons em torno de Plutão é aproximadamente 213 m/s.