7)(PeC).Calcule x sabendo que: a) A média aritmética entre x x+8 e 2x-4 é igual a 8. b) A moda entre 3x-5,6 e 9 seja igual a 6. c) A moda entre 3x-5,6 e 9 seja igual a 9. d) O conjunto de valores 3x-5 , 6 e 9 seja amodal. e) A média geométrica entre x+1 ,2e4seja 10. f) A média harmônica entre x 2x e 3x seja 6.

Vamos resolver cada item da questão:<br /><br />a) A média aritmética entre \(x\), \(x+8\) e \(2x-4\) é igual a 8.<br />Para calcular a média aritmética, somamos os valores e dividimos pelo número de elementos:<br />\[<br />\frac{x + (x+8) + (2x-4)}{3} = 8<br />\]<br />Resolvendo a equação:<br />\[<br />\frac{4x + 4}{3} = 8 \implies 4x + 4 = 24 \implies 4x = 20 \implies x = 5<br />\]<br /><br />b) A moda entre \(3x-5\), 6 e 9 seja igual a 6.<br />A moda é o valor que aparece com maior frequência. Para que 6 seja a moda, ele deve aparecer mais vezes do que qualquer outro valor. Como 6 já aparece uma vez, \(3x-5\) e 9 devem ser iguais:<br />\[<br />3x - 5 = 9 \implies 3x = 14 \implies x = \frac{14}{3}<br />\]<br /><br />c) A moda entre \(3x-5\), 6 e 9 seja igual a 9.<br />Para que 9 seja a moda, ele deve aparecer mais vezes do que qualquer outro valor. Como 9 já aparece uma vez, \(3x-5\) e 6 devem ser iguais:<br />\[<br />3x - 5 = 6 \implies 3x = 11 \implies x = \frac{11}{3}<br />\]<br /><br />d) O conjunto de valores \(3x-5\), 6 e 9 seja amodal.<br />Um conjunto é amodal se não houver um valor que apareça com maior frequência. Isso só pode acontecer se todos os valores aparecem com a mesma frequência. Como 6 e 9 aparecem uma vez cada, \(3x-5\) deve ser igual a 6 ou 9:<br />\[<br />3x - 5 = 6 \implies 3x = 11 \implies x = \frac{11}{3}<br />\]<br />ou<br />\[<br />3x - 5 = 9 \implies 3x = 14 \implies x = \frac{14}{3}<br />\]<br /><br />e) A média geométrica entre \(x+1\), 2 e 4 seja 10.<br />Para calcular a média geométrica, elevamos os valores à potência do número de elementos e depois tomamos a raiz n-ésima:<br />\[<br />\sqrt[3]{(x+1) \cdot 2 \cdot 4} = 10<br />\]<br />Resolvendo a equação:<br />\[<br />\sqrt[3]{8(x+1)} = 10 \implies 8(x+1) = 1000 \implies x+1 = 125 \implies x = 124<br />\]<br /><br />f) A média harmônica entre \(x\), \(2x\) e \(3x\) seja 6.<br />Para calcular a média harmônica, somamos os valores e dividimos pelo número de elementos:<br />\[<br />\frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x}} = 6<br />\]<br />Resolvendo a equação:<br />\[<br />\frac{3}{\frac{6 + 3 + 2}{6x}} = 6 \implies \frac{3}{\frac{11}{6x}} = 6 \implies \frac{18x}{11} = 6 \implies 18x = 66 \implies x = \frac{66}{18} = \frac{11}{3}<br />\]<br /><br />Portanto, as soluções são:<br />a) \(x = 5\)<br />b) \(x = \frac{14}{3}\)<br />c) \(x = \frac{11}{3}\)<br />d) \(x = \frac{11}{3}\) ou \(x = \frac{14}{3}\)<br />e) \(x = 124\)<br />f) \(x = \frac{11}{3}\)