6) 0 poço. Deixa-se cair uma pedra num poço profundo. O barulho da queda é ouvido 2 s depois. Sabendo que a velocidade do som no ar é de 330m/s, calcule a profundidade do poço? Use: g=10

Para resolver este problema, precisamos considerar dois tempos: o tempo de queda da pedra (\(t_1\)) e o tempo que o som leva para subir até a superfície (\(t_2\)). A soma desses tempos é 2 segundos.<br /><br />1. **Tempo de queda da pedra (\(t_1\)):**<br /><br />A equação do movimento para a queda livre é:<br /><br />\[ h = \frac{1}{2} g t_1^2 \]<br /><br />onde \(h\) é a profundidade do poço e \(g = 10 \, \text{m/s}^2\).<br /><br />2. **Tempo do som subir (\(t_2\)):**<br /><br />O som percorre a mesma distância \(h\) com velocidade \(v = 330 \, \text{m/s}\):<br /><br />\[ h = v \cdot t_2 \]<br /><br />3. **Relação entre os tempos:**<br /><br />Sabemos que:<br /><br />\[ t_1 + t_2 = 2 \]<br /><br />Substituindo \(t_2\) da segunda equação na relação dos tempos:<br /><br />\[ t_2 = \frac{h}{330} \]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ t_1 + \frac{h}{330} = 2 \]<br /><br />4. **Substituir \(t_1\) da primeira equação:**<br /><br />Da primeira equação, temos:<br /><br />\[ h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t_1^2 \]<br />\[ h = 5t_1^2 \]<br /><br />Substituindo na equação do tempo total:<br /><br />\[ t_1 + \frac{5t_1^2}{330} = 2 \]<br /><br />Multiplicando toda a equação por 330 para eliminar o denominador:<br /><br />\[ 330t_1 + 5t_1^2 = 660 \]<br /><br />Rearranjando a equação:<br /><br />\[ 5t_1^2 + 330t_1 - 660 = 0 \]<br /><br />Dividindo toda a equação por 5:<br /><br />\[ t_1^2 + 66t_1 - 132 = 0 \]<br /><br />Resolvendo esta equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\[ t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />onde \(a = 1\), \(b = 66\), \(c = -132\).<br /><br />\[ t_1 = \frac{-66 \pm \sqrt{66^2 + 528}}{2} \]<br /><br />\[ t_1 = \frac{-66 \pm \sqrt{4356 + 528}}{2} \]<br /><br />\[ t_1 = \frac{-66 \pm \sqrt{4884}}{2} \]<br /><br />Calculando a raiz:<br /><br />\[ \sqrt{4884} \approx 69.87 \]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ t_1 = \frac{-66 \pm 69.87}{2} \]<br /><br />Como o tempo não pode ser negativo, escolhemos a solução positiva:<br /><br />\[ t_1 = \frac{3.87}{2} \approx 1.935 \, \text{s} \]<br /><br />Agora, calculamos \(h\) usando \(t_1\):<br /><br />\[ h = 5t_1^2 = 5 \times (1.935)^2 \]<br /><br />\[ h \approx 5 \times 3.744 \]<br /><br />\[ h \approx 18.72 \, \text{m} \]<br /><br />Portanto, a profundidade do poço é aproximadamente 18,72 metros.