EM DUPLA Se um triângulc tem como vértices os pontos A(2,3),B(4,1) e C(6,7) determinem uma equação geral da reta-suporte da mediana relativa ao lado BC.

Para determinar a equação geral da reta-suporte da mediana relativa ao lado BC, precisamos encontrar o ponto médio do segmento BC e, em seguida, calcular a equação da reta que passa por esse ponto médio e é perpendicular à reta que passa pelos pontos B e C.<br /><br />O ponto médio do segmento BC é dado por:<br /><br />$M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right)$<br /><br />Substituindo as coordenadas dos pontos B e C, temos:<br /><br />$M = \left(\frac{4 + 6}{2}, \frac{1 + 7}{2}\right) = (5, 4)$<br /><br />Agora, precisamos calcular a inclinação da reta que passa pelos pontos B e C. A inclinação é dada por:<br /><br />$m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}$<br /><br />Substituindo as coordenadas dos pontos B e temos:<br /><br />$m = \frac{7 - 1}{6 - 4} = \frac{6}{2} = 3$<br /><br />A inclinação da reta perpendicular à reta que passa pelos pontos B e C é o negativo recíproco da inclinação da reta que passa pelos pontos B e C. Portanto, a inclinação da reta perpendicular é:<br /><br />$m_{\perp} = -\frac{1}{3}$<br /><br />Agora, podemos escrever a equação da reta que passa pelo ponto médio M e tem inclinação $m_{\perp}$. A equação da reta é dada por:<br /><br />$y - y_M = m_{\perp}(x - x_M)$<br /><br />Substituindo as coordenadas do ponto médio M e a inclinação $m_{\perp}$, temos:<br /><br />$y - 4 = -\frac{1}{3}(x - 5)$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração, temos:<br /><br />$3(y - 4) = -(x - 5)$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$3y - 12 = -x + 5$<br /><br />Somando $x$ em ambos os lados e subtraindo 5 em ambos os lados, temos:<br /><br />$x + 3y = 17$<br /><br />Portanto, a equação geral da reta-suporte da mediana relativa ao lado BC é:<br /><br />$x + 3y = 17$