pollnomos, sendo um deles do 3^circ grau. 4. (OLIMP/ADA DE MATEMATICA O Número 4sqrt (4-2sqrt (3))+sqrt (97-56sqrt (3)) é inteiro?

Para determinar se o número $4\sqrt{4-2\sqrt{3}} + \sqrt{97-56\sqrt{3}}$ é inteiro, vamos simplificar cada termo separadamente.

Primeiro, vamos simplificar $4\sqrt{4-2\sqrt{3}}$:

$$4\sqrt{4-2\sqrt{3}} = 4\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = 4(\sqrt{3} - 1) = 4\sqrt{3} - 4$$

Agora, vamos simplificar $\sqrt{97-56\sqrt{3}}$:

Vamos supor que $\sqrt{97-56\sqrt{3}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$, onde $a$ e $b$ são números inteiros. Então:

$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 97 - 56\sqrt{3}$$

$$a + b = 97$$
$$-2\sqrt{ab} = -56\sqrt{3}$$

$$\sqrt{ab} = 28\sqrt{3}$$

$$ab = 28^2 \cdot 3 = 7056$$

Agora, precisamos encontrar $a$ e $b$ tais que $a + b = 97$ e $ab = 7056$. Resolvendo a equação quadrática:

$$t^2 - 97t + 7056 = 0$$

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$t = \frac{97 \pm \sqrt{97^2 - 4 \cdot 7056}}{2}$$

$$t = \frac{97 \pm \sqrt{9409 - 28224}}{2}$$

$$t = \frac{97 \pm \sqrt{-18815}}{2}$$

Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, isso significa que não há soluções reais para $a$ e $b$. Portanto, $\sqrt{97-56\sqrt{3}}$ não pode ser simplificado para números inteiros.

Portanto, a expressão $4\sqrt{4-2\sqrt{3}} + \sqrt{97-56\sqrt{3}}$ não é um número inteiro.