1 Determine o valor de m para que a equação do 2^circ grau 3x^2+4mx+m=0 tenha duas raizes reais e iguais . Determine também as raizes.

Para que a equação do segundo grau $3x^2 + 4mx + m = 0$ tenha duas raízes reais e iguais, o discriminante deve ser igual a zero. O discriminante é dado por $D = b^2 - 4ac$, onde $a$, $b$ e $c$ são os coeficientes da equação.

No caso da equação dada, temos $a = 3$, $b = 4m$ e $c = m$. Substituindo esses valores na fórmula do discriminante, temos:

$D = (4m)^2 - 4(3)(m) = 16m^2 - 12m$

Para que a equação tenha duas raízes reais e iguais, o discriminante deve ser igual a zero:

$16m^2 - 12m = 0$

Fatorando a equação, temos:

$4m(4m - 3) = 0$

Portanto, as soluções para $m$ são $m = 0$ ou $m = \frac{3}{4}$.

Agora, vamos determinar as raízes da equação para cada valor de $m$.

1) Para $m = 0$, a equação fica $3x^2 = 0$. As raízes são $x = 0$.

2) Para $m = \frac{3}{4}$, a equação fica $3x^2 + 3x = 0$. Fatorando, temos $3x(x + 1) = 0$. As raízes são $x = 0$ e $x = -1$.

Portanto, as raízes da equação são $x = 0$ e $x = -1$.