29. Calcule as expressões a seguir,dando as respostas na forma de fração irredutível e na forma decimal. a) 2+0,2+0,222ldots +(1)/(2) b) (8)/(30)-0,3222ldots +0,overline (4)cdot (3)/(2) c) (-1,3-0,333ldots ):(-0,overline (6)-(12)/(9)) d) ((1)/(3)+0,333ldots )(0,3cdot (5)/(6))

a) Para calcular a expressão $2+0,2+0,222\ldots +\frac{1}{2}$, primeiro somamos os números decimais. O número $0,222\ldots$ é uma fração periódica, que pode ser representada como $\frac{2}{9}$. Portanto, a expressão se torna $2+0,2+\frac{2}{9}+\frac{1}{2}$. Somando os números, obtemos $2,422\ldots$. Na forma de fração irredutível, a expressão é $2+\frac{2}{9}+\frac{1}{2}$, que pode ser simplificada para $\frac{22}{9}+\frac{1}{2}$. Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é 18. Assim, a expressão se torna $\frac{44}{18}+\frac{9}{18}=\frac{53}{18}$. Portanto, a resposta na forma de fração irredutível é $\frac{53}{18}$ e na forma decimal é $2,422\ldots$.

b) Para calcular a expressão $\frac{8}{30}-0,3222\ldots+0,\overline{4}\cdot\frac{3}{2}$, primeiro simplificamos a fração $\frac{8}{30}$ para $\frac{4}{15}$. O número $0,3222\ldots$ é uma fração periódica, que pode ser representada como $\frac{32}{99}$. O número $0,\overline{4}$ é uma fração periódica, que pode ser representada como $\frac{4}{9}$. Portanto, a expressão se torna $\frac{4}{15}-\frac{32}{99}+\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{2}$. Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é 495. Assim, a expressão se torna $\frac{132}{495}-\frac{160}{495}+\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}$. Simplificando, obtemos $\frac{-28}{495}+2$. Portanto, a resposta na forma de fração irredutível é $\frac{-28}{495}+2$ e na forma decimal é $1,943\ldots$.

c) Para calcular a expressão $(-1,3-0,333\ldots):(-0,\overline{6}-\frac{12}{9})$, primeiro simplificamos a fração $\frac{12}{9}$ para $\frac{4}{3}$. O número $-0,\overline{6}$ é uma fração periódica, que pode ser representada como $-\frac{2}{3}$. Portanto, a expressão se torna $(-1,3-\frac{1}{3}):(-\frac{2}{3}-\frac{4}{3})$. Simplificando, obtemos $(-1,3-\frac{1}{3}):(-2)$. Portanto, a resposta na forma de fração irredutível é $\frac{-4}{3}$ e na forma decimal é $1,333\ldots$.

d) Para calcular a expressão $(\frac{1}{3}+0,333\ldots)(0,3\cdot\frac{5}{6})$, primeiro simplificamos a fração $\frac{1}{3}$ para $\frac{1}{3}$ e o número $0,333\ldots$ para $\frac{1}{3}$. Portanto, a expressão se torna $(\frac{1}{3}+\frac{1}{3})(0,3\cdot\frac{5}{6})$. Simplificando, obtemos $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{10}$. Portanto, a resposta na forma de fração irredutível é $\frac{1}{5}$ e na forma decimal é $0,2$.