8. Um emprestimo de 250 mil dolares deve ser devolvido pelo SAC em 50 presta- ções mensais, sendo de 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se: a) 0 valor da primeira prestação. b) 0 valor da segunda prestação. c) 0 valor da 37^a prestação. d) A soma das 20 primeiras amortizações. e) A soma das 20 primeiras prestações. Lembrete: formula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmé- tica (PA) S=((a_(1)+a_(n))cdot n)/(2) em que a_(1) é o primeiro termo e a_(n)0 último.

Para resolver as questões, vamos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (PA):

$$S = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$

Onde:
- $S$ é a soma dos n primeiros termos.
- $a_1$ é o primeiro termo.
- $a_n$ é o último termo.
- $n$ é o número de termos.

Primeiro, vamos calcular o valor da primeira prestação:

a) O valor da primeira prestação:
$$a_1 = P \cdot \frac{r(1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1}$$
$$a_1 = 250.000 \cdot \frac{0,02(1 + 0,02)^{50}}{(1 + 0,02)^{50} - 1}$$
$$a_1 = 250.000 \cdot \frac{0,02(1,02)^{50}}{(1,02)^{50} - 1}$$
$$a_1 = 250.000 \cdot \frac{0,02 \cdot 1,10408}{1,10408 - 1}$$
$$a_1 = 250.000 \cdot \frac{0,02208016}{0,10408}$$
$$a_1 = 250.000 \cdot 0,212$$
$$a_1 = 53.000$$

Portanto, o valor da primeira prestação é $$53.000. b) O valor da segunda prestação: \[ a_2 = a_1 + r \cdot a_1 \] \[ a_2 = 53.000 + 0,02 \cdot 53.000 \] \[ a_2 = 53.000 + 1.060 \] \[ a_2 = 54.060 \] Portanto, o valor da segunda prestação é$$ 54.060.

c) O valor da 37ª prestação:
$$a_{37} = a_1 + (37 - 1) \cdot r \cdot a_1$$
$$a_{37} = 53.000 + 36 \cdot 0,02 \cdot 53.000$$
$$a_{37} = 53.000 + 3.792$$
$$a_{37} = 56.792$$

Portanto, o valor da 37ª prestação é $$56.792. d) A soma das 20 primeiras amortizações: \[ S_{20} = \frac{(a_1 + a_{20}) \cdot 20}{2} \] \[ S_{20} = \frac{(53.000 + a_{20}) \cdot 20}{2} \] Para encontrar \( a_{20} \): \[ a_{20} = a_1 + (20 - 1) \cdot r \cdot a_1 \] \[ a_{20} = 53.000 + 19 \cdot 0,02 \cdot 53.000 \] \[ a_{20} = 53.000 + 2.036 \] \[ a_{20} = 55.036 \] Agora, substituímos \( a_{20} \) na fórmula da soma: \[ S_{20} = \frac{(53.000 + 55.036) \cdot 20}{2} \] \[ S_{20} = \frac{108.036 \cdot 20}{2} \] \[ S_{20} = \frac{2160.72}{2} \] \[ S_{20} = 1080.36 \] Portanto, a soma das 20 primeiras amortizações é$$ 1.080,36.

e) A soma das 20 primeiras prestações:
$$S'_{20} = S_{20} + 20 \cdot r \cdot a_1$$
$$S'_{20} = 1080.36 + 20 \cdot 0,02 \cdot 53.000$$
$$S'_{20} = 1080.36 + 4.120$$
$$S'_{20} = 1124.48$$

Portanto, a soma das 20 primeiras prestações é $1.124,48.