34 Uma massa m_(0) de carbono-14 sofre desintegração radioativa e após t anos, reduz-se a uma massa dada por m(t)=m_(0)cdot 2^(-t)/(5700) a) Após quanto tempo 10 g de carbono -14 serão reduzidos a 1,25 g? b) Usando a aproximação 2^10=1000 10 g de carbono -14 se reduzirão a qual massa após 57000 anos?

34 Uma massa $m_{0}$ de carbono $-14$ sofre desintegração radioativa e, após t anos, reduz-se a uma massa dada por $m(t)=m_{0}\cdot 2^{\frac {-t}{5700}}$<br />a) Após quanto tempo 10 g de carbono -14 serão reduzidos a 1,25 g?<br />b) Usando a aproximação $2^{10}=1000,10g$ de carbono -14 se reduzirão a qual massa após 57000 anos?<br /><br />a) Para encontrar o tempo em que 10 g de carbono -14 serão reduzidos a 1,25 g, podemos usar a fórmula dada e substituir as massas conhecidas:<br /><br />$m(t)=m_{0}\cdot 2^{\frac {-t}{5700}}$<br /><br />Substituindo $m_{0}=10$ g e $m(t)=1,25$ g:<br /><br />$1,25=10\cdot 2^{\frac {-t}{5700}}$<br /><br />Dividindo ambos os lados por 10:<br /><br />$0,125=2^{\frac {-t}{5700}}$<br /><br />Agora, vamos isolar o expoente $\frac {-t}{5700}$ aplicando logaritmo na base 2 em ambos os lados:<br /><br />$\log_{2}(0,125)=\log_{2}(2^{\frac {-t}{5700}})$<br /><br />Usando a propriedade dos logaritmos $\log_{a}(b^{c})=c\cdot \log_{a}(b)$:<br /><br />$\log_{2}(0,125)=\frac {-t}{5700}\cdot \log_{2}(2)$<br /><br />Como $\log_{2}(2)=1$, podemos simplificar ainda mais:<br /><br />$\log_{2}(0,125)=\frac {-t}{5700}$<br /><br />Agora podemos resolver para t usando uma calculadora ou software de matemática. O resultado é aproximadamente t = 5735 anos.<br /><br />b) Para encontrar a massa resultante após 57.000 anos usando a aproximação $2^{10}=1000$, podemos substituir as massas conhecidas na fórmula dada:<br /><br />$m(t)=m_{0}\cdot 2^{\frac {-t}{5700}}$<br /><br />Substituindo $m_{0}=10