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A integral de circulaço do campo vetorial overrightarrow (F)=-yi^wedge +xj^wedge ao lango da circunferéncia x^2+y^2=1 contida no plano z=0 e percorrida no sentido anti-hordrio e a. 2 b. 1 c.o d. TI e 2pi

Pergunta

A integral de circulaço do campo vetorial overrightarrow (F)=-yi^wedge +xj^wedge  ao lango da circunferéncia x^2+y^2=1 contida no plano z=0 e percorrida no sentido anti-hordrio e
a. 2
b. 1
c.o
d. TI
e 2pi

A integral de circulaço do campo vetorial overrightarrow (F)=-yi^wedge +xj^wedge ao lango da circunferéncia x^2+y^2=1 contida no plano z=0 e percorrida no sentido anti-hordrio e a. 2 b. 1 c.o d. TI e 2pi

Solução

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AgostinhoElite · Tutor por 8 anos

Responder

Para calcular a integral de circulação do campo vetorial \overrightarrow{F} = -yi^{\wedge} + xj^{\wedge}
ao longo da circunferência x^{2} + y^{2} = 1
contida no plano z = 0
e percorrida no sentido anti-horário, podemos usar a fórmula da integral de circulação:

\oint_{\gamma} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_{\gamma} (\nabla \times \overrightarrow{F}) \cdot d\overrightarrow{r}


Onde \nabla \times \overrightarrow{F}
é o rotacional de \overrightarrow{F}
e \gamma
é a curva de integração.

No caso, o campo vetorial \overrightarrow{F}
é dado por -yi^{\wedge} + xj^{\wedge}
. Podemos calcular o rotacional de \overrightarrow{F}
:

\nabla \times \overrightarrow{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right)i^{\wedge} + \left( \frac{\partial F_z}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial z} \right)j^{\wedge} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)k^{\wedge}


Como \overrightarrow{F}
é independente de z
, as derivadas parciais em relação a z
são zero. Portanto, o rotacional de \overrightarrow{F}
é:

\nabla \times \overrightarrow{F} = (0 - 0)i^{\wedge} + (0 - 0)j^{\wedge} + (0 - 0)k^{\wedge} = 0


Agora, podemos calcular a integral de circulação:

\oint_{\gamma} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_{\gamma} (\nabla \times \overrightarrow{F}) \cdot d\overrightarrow{r} = \int_{\gamma} 0 \cdot d\overrightarrow{r} = 0


Portanto, a integral de circulação do campo vetorial \overrightarrow{F} = -yi^{\wedge} + xj^{\wedge}
ao longo da circunferência x^{2} + y^{2} = 1
contida no plano z = 0
e percorrida no sentido anti-horário é igual a zero.

A resposta correta é a opção c.
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