3. 0 conjunto B= f:Rarrow Rvert f(x)=f(-x) das funções pares, é um subespaço vetorial das funções reais (Justifique sua resposta)

Para justificar se o conjunto $B=\{ f:R\rightarrow R\vert f(x)=f(-x)\}$ é um subespaço vetorial das funções reais, precisamos verificar se ele satisfaz três condições: fechamento sob adição, fechamento sob multiplicação por escalar e presença do elemento neutro.<br /><br />1. Fechamento sob adição: Se $f$ e $g$ pertencem a $B$, então $f(x) = f(-x)$ e $g(x) = g(-x)$ para todo $x$ em $R$. Agora, vamos verificar se $f+g$ também pertence a $B$. <br /><br />$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) = (f+g)(-x)$<br /><br />Portanto, $f+g$ satisfaz a condição $f(x) = f(-x)$ e pertence a $B$. Assim, o conjunto $B$ é fechado sob adição.<br /><br />2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se $ pertence a $B$, então $f(x) = f(-x)$ para todo $x$ em $R$. Agora, vamos verificar se $cf$ também pertence a $B$, onde $c$ é um escalar.<br /><br />$(cf)(x) = c \cdot f(x) = c \cdot f(-x) = (cf)(-x)$<br /><br />Portanto, $cf$ satisfaz a condição $f(x) = f(-x)$ e pertence a $B$. Assim, o conjunto $B$ é fechado sob multiplicação por escalar.<br /><br />3. Presença do elemento neutro: Precisamos verificar se existe uma função neutra em $B$ tal que $f + 0 = f$ para todo $f$ em $B$. A função neutra em $B$ é a função identidade, dada por $i(x) = x$ para todo $x$ em $R$. <br /><br />$i(x) = x = -x = i(-x)$<br /><br />Portanto, a função identidade pertence a $B$ e é o elemento neutro.<br /><br />Dado que o conjunto $B$ satisfaz as três condições mencionadas, podemos concluir que $B$ é um subespaço vetorial das funções reais.