(5) Calcule: a) C_(7,3) b) (C_(10,3))/(C_(5,3)) c) C_(n, 2)=6 d) C_(x, 2)=3

Vamos calcular cada uma das opções:<br /><br />a) \( C_{7,3} \)<br /><br />O coeficiente binomial \( C_{n,k} \) é calculado pela fórmula:<br /><br />\[ C_{n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]<br /><br />Para \( n = 7 \) e \( k = 3 \):<br /><br />\[ C_{7,3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3! \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]<br /><br />Portanto, \( C_{7,3} = 35 \).<br /><br />b) \( \frac{C_{10,3}}{C_{5,3}} \)<br /><br />Para \( n = 10 \) e \( k = 3 \):<br /><br />\[ C_{10,3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]<br /><br />Para \( n = 5 \) e \( k = 3 \):<br /><br />\[ C_{5,3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]<br /><br />Portanto,<br /><br />\[ \frac{C_{10,3}}{C_{5,3}} = \frac{120}{10} = 12 \]<br /><br />c) \( C_{n, 2} = 6 \)<br /><br />Para \( k = 2 \), temos:<br /><br />\[ C_{n,2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2} = 6 \]<br /><br />Resolvendo a equação:<br /><br />\[ \frac{n(n-1)}{2} = 6 \]<br /><br />\[ n(n-1) = 12 \]<br /><br />\[ n^2 - n - 12 = 0 \]<br /><br />Resolvendo a equação quadrática:<br /><br />\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \]<br /><br />\[ n = 4 \quad \text{ou} \quad n = -3 \]<br /><br />Como \( n \) deve ser um número inteiro positivo, temos \( n = 4 \).<br /><br />Portanto, \( n = 4 \).<br /><br />d) \( C_{x, 2} = 3 \)<br /><br />Para \( k = 2 \), temos:<br /><br />\[ C_{x,2} = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2} = 3 \]<br /><br />Resolvendo a equação:<br /><br />\[ \frac{x(x-1)}{2} = 3 \]<br /><br />\[ x(x-1) = 6 \]<br /><br />\[ x^2 - x - 6 = 0 \]<br /><br />Resolvendo a equação quadrática:<br /><br />\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \]<br /><br />\[ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -2 \]<br /><br />Como \( x \) deve ser um número inteiro positivo, temos \( x = 3 \).<br /><br />Portanto, \( x = 3 \).