Considere a funcao f(x,y)=2x^3+xy-y Com base nessa função e nas propriedades de derivadas parciais de primeira e segunda ordem de funçóes de duas variaveis, analise as itens que seguem 1 A derivada parcial de primeira ordem da função em relação à xé dada por f_(x)=2x^2 1. A derivada parcial de segunda ordem da função em relação à y é dada por f_(w)=0 II A derivada parcial de segunda ordem mista da função é dada por f_(xy)=f_(yx)=x Assinale a alternativa correta Os itens 1. II e III estão corretos Apenas o item III está correto Apenas o item Lestá correto Apenas os itens I e II estão corretos Apenas o item II está correto

Vamos revisar a análise das derivadas parciais de segunda ordem mista para garantir a precisão.

A função dada é $f(x, y) = 2x^3 + xy - y$.

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:

1. Derivada parcial de segunda ordem em relação a $x$:
$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} (6x^2 + y) = 12x$$

2. Derivada parcial de segunda ordem em relação a $y$:
$$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (x - 1) = 0$$

3. Derivada parcial de segunda ordem mista:
$$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (6x^2 + y) = 1$$
$$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} (x - 1) = 1$$

Portanto, a derivada parcial de segunda ordem mista é $f_{xy} = f_{yx} = 1$.

Com isso, a análise correta dos itens é:

- O item I está incorreto, pois $f_{x} = 6x^2 + y$, não $f_{x} = 2x^2$.
- O item II está incorreto, pois $f_{yy} = 0$.
- O item III está correto, pois $f_{xy} = f_{yx} = 1$.

Portanto, a alternativa correta é:

**Apenas o item III está correto.**