Suponha que determinado terreno tenha o mesmo formato da região limitada pela curva y=2x^3 e pelas retas x=0,x=5ey=0 com as dimensões apresentadas em metros Qual das seguintes alternativas indica corretamente a área deste terreno? 625m^2 156,25m^2 312,5m^2 75m^2 500m^2

Para encontrar a área do terreno, precisamos calcular a área da região limitada pela curva $y = 2x^3$ e pelas retas $x = 0$, $x = 5$ e $y = 0$.

A área sob a curva $y = 2x^3$ entre $x = 0$ e $x = 5$ pode ser encontrada usando a integral definida:

$$\text{Área} = \int_{0}^{5} 2x^3 \, dx$$

Calculando a integral:

$$\text{Área} = \int_{0}^{5} 2x^3 \, dx = 2 \int_{0}^{5} x^3 \, dx = 2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{5} = 2 \left( \frac{5^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = 2 \left( \frac{625}{4} \right) = 2 \cdot 156,25 = 312,5 \, m^2$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$312,5 \, m^2$$