Exercício 8.1 Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f(x,y)= 1 x^2+3xy+4y^2-6x+2y x^2+y^3+xy-3x-4y+5

Para encontrar os máximos e mínimos locais da função $f(x,y) = x^2 + 3xy + 4y^2 - 6x + 2y$, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são aqueles em que as derivadas parciais de $f$ em relação a $x$ e $y$ são iguais a zero.

Vamos calcular as derivadas parciais de $f$ em relação a $x$ e $y$:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y - 6$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 8y + 2$$

Agora, igualamos essas derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:

$$2x + 3y - 6 = 0$$

$$3x + 8y + 2 = 0$$

Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de $x$ e $y$ nos pontos críticos. Depois de encontrar os pontos críticos, podemos usar o teste da segunda derivada para determinar se cada ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Para a função $f(x,y) = x^2 + y^3 + xy - 3x - 4y + 5$, podemos seguir um processo semelhante. Vamos calcular as derivadas parciais de $f$ em relação a $x$ e $y$:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 3$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 + x - 4$$

Igualamos essas derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:

$$2x + y - 3 = 0$$

$$3y^2 + x - 4 = 0$$

Resolvemos esse sistema de equações para encontrar os valores de $x$ e $y$ nos pontos críticos. Depois de encontrar os pontos críticos, podemos usar o teste da segunda derivada para determinar se cada ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela.