15. Dados os velores overrightarrow (u)=(1,a,-2a-1),overrightarrow (v)=(a,a-1,1) C overrightarrow (w)=(a,-1,1) . determinar a tal que overrightarrow (u)cdot overrightarrow (v)=(overrightarrow (u)+overrightarrow (v))cdot overrightarrow (w)

Para determinar o valor de $a$ que satisfaça a equação $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}$, vamos primeiro calcular os produtos escalar dos vetores dados.

Dado que $\overrightarrow{u} = (1, a, -2a-1)$, $\overrightarrow{v} = (a, a-1, 1)$ e $\overrightarrow{w} = (a, -1, 1)$, podemos calcular o produto escalar $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ da seguinte forma:

$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (1 \cdot a) + (a \cdot (a-1)) + ((-2a-1) \cdot 1)$$

Simplificando a expressão, temos:

$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = a + a^2 - a - 2a - 1 = a^2 - 2a - 1$$

Agora, vamos calcular o produto escalar $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}$:

$$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (1 + a, a + (a-1), -2a-1 + 1) = (a+1, 2a-1, -2a)$$

$$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = ((a+1) \cdot a) + ((2a-1) \cdot (-1)) + ((-2a) \cdot 1)$$

Simplificando a expressão, temos:

$$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = a^2 + a - 2a + 1 - 2a = a^2 - 3a + 1$$

Agora, igualamos as duas expressões:

$$a^2 - 2a - 1 = a^2 - 3a + 1$$

Simplificando a equação, temos:

$$-2a - 1 = -3a + 1$$

Resolvendo para $a$, encontramos:

$$a = 2$$

Portanto, o valor de $a$ que satisfaça a equação é $a = 2$.