169) Seja R^2 o produto cartesiano de R por ele mesmo.Considerando a soma de vetores usual em R^2 verifique se R^2,+) é um grupo. (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)

Para verificar se $$(R^{2}, +)$$ é um grupo, precisamos verificar se ele satisfaz as quatro propriedades de um grupo: fechamento, associatividade, identidade e inverso.

1. Fechamento: Para qualquer $$(x, y), (a, b) \in R^{2}$$ , a soma $$(x, y) + (a, b)$$ também pertence a $$R^{2}$$ . Portanto, o conjunto $$R^{2}$$ está fechado sob a operação de soma.

2. Associatividade: A operação de soma em $$R^{2}$$ é associativa. Ou seja, para qualquer $$(x, y), (a, b), (c, d) \in R^{2}$$ , temos $$((x, y) + (a, b)) + (c, d) = (x + a, y + b) + (c, d) = (x + a + c, y + b + d) = (x, y) + ((a, b) + (c, d)) = (x, y) + (a + c, b + d) = (x + a + c, y + b + d)$$ .

3. Identidade: O vetor nulo $$(0, 0)$$ é o elemento identidade para a operação de soma em $$R^{2}$$ . Ou seja, para qualquer $$(x, y) \in R^{2}$$ , temos $$(x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y)$$ .

4. Inverso: Para cada vetor $$(x, y) \in R^{2}$$ , existe um vetor $$(-x, -y) \in R^{2}$$ tal que $$(x, y) + (-x, -y) = (x - x, y - y) = (0, 0)$$ . Portanto, cada elemento de $$R^{2}$$ tem um inverso na operação de soma.

Portanto, podemos concluir que $$(R^{2}, +)$$ é um grupo.