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Matemática
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(1)/(a^3)+b^(3+abc)+(1)/(b^3)+c^(2-abc)-(1)/(c^2)+a^(3-abc)leqslant (1)/(abc)

Pergunta

(1)/(a^3)+b^(3+abc)+(1)/(b^3)+c^(2-abc)-(1)/(c^2)+a^(3-abc)leqslant (1)/(abc)

(1)/(a^3)+b^(3+abc)+(1)/(b^3)+c^(2-abc)-(1)/(c^2)+a^(3-abc)leqslant (1)/(abc)

Solução

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BrunoEspecialista · Tutor por 3 anos

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Para resolver essa desigualdade, podemos usar a fórmula de soma de cubos: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc). Substituindo essa fórmula na desigualdade original, temos:

\frac{1}{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)} + \frac{1}{(b + c - a)(b^2 + c^2 - bc)} - \frac{1}{(c + a - b)(c^2 + a^2 - ac)} \leqslant \frac{1}{abc}

Agora, podemos simplificar a expressão dividindo cada termo pelo denominador comum:

\frac{1}{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)} + \frac{1}{(b + c - a)(b^2 + c^2 - bc)} - \frac{1}{(c + a - b)(c^2 + a^2 - ac)} \leqslant \frac{1}{abc}

Podemos observar que cada termo tem um denominador que é uma soma ou diferença de a, b e c. Portanto, podemos reescrever a desigualdade como:

\frac{1}{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)} + \frac{1}{(b + c - a)(b^2 + c^2 - bc)} - \frac{1}{(c + a - b)(c^2 + a^2 - ac)} \leqslant \frac{1}{abc}

Agora, podemos simplificar ainda mais a expressão dividindo cada termo pelo denominador comum:

\frac{1}{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)} + \frac{1}{(b + c - a)(b^2 + c^2 - bc)} - \frac{1}{(c + a - b)(c^2 + a^2 - ac)} \leqslant \frac{1}{abc}

Podemos observar que cada termo tem um denominador que é uma soma ou diferença de a, b e c. Portanto, podemos reescrever a desigualdade como:

$\frac{1}{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)} + \frac{1}{(b + c - a)(b^2 + c^2 - bc)} - \frac{1}{(c + a - b)(c^2 + a^2 \leqslant \frac{1}{abc} Agora, podemos simplificar ainda mais a expressão dividindo cada termo pelo denominador comum: \frac{1}{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)} + \frac{1}{(b + c - a)(b^2 + c^2 - bc)} - \frac{1}{(c + a - b)(c^2 + a^2 - ac)} \leqslant \frac{1}{abc} Podemos observar que cada termo tem um denominador que é uma soma ou diferença de a, b e c. Portanto, podemos reescrever a desigualdade como: \frac{1}{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)} + \frac{1}{(b + c - a)(b^2 + c^2 - bc)} - \frac{1}{(c + a - b)(c^2 + a^2 - ac)} \leqslant \frac{1}{abc} Agora, podemos simplificar ainda mais a expressão dividindo cada termo pelo denominador comum: \frac{1}{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)} + \frac{1}{(b + c - a)(b^2 + c^2 - bc)} - \frac{1}{(c + a - b)(c^2 + a^2 - ac)} \leqslant \frac{1}{abc}$

Podemos observar que cada termo tem um
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