Seja um setor com duas empresas: 1e 2 , ambas produzindo um bem homogêneo. 0 custo total da empresa 1é c_(1)=5q_(1) e o da empresa 2é c_(2)=0,5q_(2)^2 A demanda é dada por Q=q_(1)+q_(2)=200-2p Se as duas empresas resolverem formar um cartel, quanto a empresa 1 lucrará a mais que a empresa 2? A 4.025 B 200 C 250 D 2.095 E 4.275

Para determinar quanto a empresa 1 lucrará a mais que a empresa 2 se elas formarem um cartel, precisamos calcular a lucratividade de cada empresa quando a demanda é igualada para ambas.<br /><br />Primeiro, igualamos a demanda das duas empresas:<br /><br />\[ q_1 + q_2 = 200 - 2p \]<br /><br />Para maximizar o lucro, ambas as empresas devem equilibrar suas margens de custo com a receita. A empresa 1 tem um custo fixo por unidade de $5q_1$, enquanto a empresa 2 tem um custo de $0,5q_2^2$.<br /><br />Vamos calcular a receita total e o custo total para ambas as empresas:<br /><br />Para a empresa 1:<br />\[ \text{Lucro}_1 = p \cdot q_1 - 5q_1 \]<br /><br />Para a empresa 2:<br />\[ \text{Lucro}_2 = p \cdot q_2 - 0,5q_2^2 \]<br /><br />Como ambas as empresas estão formando um cartel, a demanda será a mesma para ambas. Então, podemos usar a demanda total para encontrar o preço de equilíbrio:<br /><br />\[ q_1 + q_2 = 200 - 2p \]<br /><br />Para maximizar o lucro total, igualamos a margem de custo marginal à receita:<br /><br />Para a empresa 1:<br />\[ \frac{d(\text{Lucro}_1)}{dq_1} = p - 5 \]<br /><br />Para a empresa 2:<br />\[ \frac{d(\text{Lucro}_2)}{dq_2} = p - q_2 \]<br /><br />Igualando as margens de custo à receita:<br /><br />\[ p - 5 = p - q_2 \]<br /><br />Isso implica que:<br /><br />\[ q_2 = 5 \]<br /><br />Agora, substituímos $q_2 = 5$ na demanda total para encontrar $q_1$:<br /><br />\[ q_1 + 5 = 200 - 2p \]<br /><br />Para encontrar o preço de equilíbrio, substituímos $q_2 = 5$ na equação de demanda:<br /><br />\[ q_1 + 5 = 200 - 2p \]<br /><br />\[ q_1 = 195 - 2p \]<br /><br />Agora, substituímos $q_1$ e $q_2$ nas equações de lucro:<br /><br />Para a empresa 1:<br />\[ \text{Lucro}_1 = p \cdot (195 - 2p) - 5 \cdot (195 - 2p) \]<br /><br />Para a empresa 2:<br />\[ \text{Lucro}_2 = p \cdot 5 - 0,5 \cdot 5^2 \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />Para a empresa 1:<br />\[ \text{Lucro}_1 = 195p - 2p^2 - 975 + 10p \]<br /><br />Para a empresa 2:<br />\[ \text{Lucro}_2 = 5p - 12,5 \]<br /><br />Para maximizar o lucro total, igualamos as duas equações de lucro:<br /><br />\[ 195p - 2p^2 - 975 + 10p = 5p - 12,5 \]<br /><br />\[ 205p - 2p^2 - 975 = 5p - 12,5 \]<br /><br />\[ 200p - 2p^2 = 962,5 \]<br /><br />\[ 2p^2 - 200p + 962,5 = 0 \]<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática:<br /><br />\[ p = \frac{200 \pm \sqrt{200^2 - 4 \cdot 2 \cdot 962,5}}{2 \cdot 2} \]<br /><br />\[ p = \frac{200 \pm \sqrt{40000 - 7700}}{4} \]<br /><br />\[ p = \frac{200 \pm \sqrt{32300}}{4} \]<br /><br />\[ p = \frac{200 \pm 179,71}{4} \]<br /><br />\[ p = 50,925 \]<br /><br />Agora, substituímos $p$ de volta nas equações de demanda para encontrar $q_1$ e $q_2$:<br /><br />\[ q_1 = 195 - 2 \cdot 50,925 = 93,15 \]<br /><br />\[ q_2 = 5 \]<br /><br />Para calcular o lucro de cada empresa:<br /><br />Para a empresa 1:<br />\[ \text{Lucro}_1 = 50,925 \cdot 93,15 - 5 \cdot 93,15 = 4747,68 - 465,75 = 4282,93 \]<br /><br />Para a empresa