Determine a taxa de variação máxima da função f(x,y,z)=(x+y)/(z) no ponto (1,1,-1) e a direção em que isso ocorre.

【Resposta】: <br />1. Taxa de variação máxima: \(\sqrt{6}\)<br />2. Direção: \((\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}})\)<br /><br />【Explicação】:<br />1. Para encontrar a taxa de variação máxima da função \(f(x,y,z) = \frac{x+y}{z}\) no ponto (1,1,-1), precisamos calcular o gradiente de \(f\) nesse ponto. O gradiente de uma função nos dá a direção da maior taxa de aumento e seu módulo nos dá a taxa de variação máxima.<br /><br /> O gradiente de \(f\), denotado como \(\nabla f\), é o vetor das derivadas parciais de \(f\). Assim:<br /> \[\nabla f(x,y,z) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)\]<br /> Calculamos cada derivada parcial:<br /> \[\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{z}, \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{z}, \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{x+y}{z^2}\]<br /> No ponto (1,1,-1), temos:<br /> \[\nabla f(1,1,-1) = \left( \frac{1}{-1}, \frac{1}{-1}, -\frac{1+1}{(-1)^2} \right) = (-1, -1, -2)\]<br /><br />2. A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente neste ponto. O módulo de um vetor \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) é dado por \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\). Portanto:<br /> \[\|\nabla f(1,1,-1)\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\]<br /> Assim, a taxa de variação máxima é \(\sqrt{6}\).<br /><br />3. A direção da maior taxa de variação é a direção do gradiente normalizado. Um vetor normalizado é obtido dividindo-se o vetor pelo seu módulo. Então, o gradiente normalizado é:<br /> \[\frac{\nabla f(1,1,-1)}{\|\nabla f(1,1,-1)\|} = \frac{(-1, -1, -2)}{\sqrt{6}} = \left(\frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}\right)\]<br /> No entanto, como estamos lidando com taxas de variação, o sinal negativo apenas indica a direção oposta. Portanto, a direção da taxa de variação máxima é \(\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}\right)\).